Похідні вищих порядків

Нехай функція має похідну на проміжку Х. Якщо в точці похідна , в свою чергу, диференційована, то її похідну називають похідною другого порядку або другою похідною функції в точці і позначають одним із символів .

Визначення Нехай функція має на проміжку Х похідні . Якщо в точці існує похідна функції , то її називають похідною n-го порядку функції в точці і позначають одним із символів , .

Отже, якщо функція має в точці х похідні до n-го порядку включно, то .

5. Формула Тейлора

Нехай функція  має в тоцчі   похідні всіх порядків до -го включно. Тоді для  справедлива формула Тейлора:

 ,

де  ,  називаєтся залишковим членом формули Тейлора в формі Пеано;  — нескінченно мала. Якщо відкинути останній член, то вийде приблизна формула Тейлора

 

,

Перша частина якої називається многочленом Тейлора функції ; його позначают . Наближена формула дозволяє заміняти похідну функції її многочленом Тейлора.

З формули Тейлора видно, що чим точка ближе до точки , тем вища точність такої заміни і ця точність росте з ростом степені многочлена. Це означає що чим більше похідних має функция в деякому околі точки , тем вища точність обчислення.

Приклади використання формули Тейлора для деяких функцій:

• ; 

• ;

• ;

• ;

• ; 

•  ;

6. Дослідження функції на монотонність. Екстремуми функції

Щоб дослідити функцію на монотонність, скористайтесь такою схемою:

- знайдіть область визначення функції;

- знайдіть похідну функції і область визначення похідної;

- знайдіть нулі похідної, тобто значення аргументу, при яких похідна дорівнює нулю;

- на числовому промені позначте спільну частину області визначення функції і області визначення її похідної, а на ній — нулі похідної;

- визначте знаки похідної на кожному з отриманих проміжків;

- за знаками похідної визначте, на яких проміжках функція зростає, а на яких спадає;

- запишіть відповідні проміжки через крапку з комою.

Точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками функції.

Точка х₀ називається точкою максимуму функції F(x), якщо для всіх значень аргументу х з деякого околу точки х₀ значення функції менші або дорівнюють її значенню в точці х₀.

Точка х₀ називається точкою мінімуму функції F(x), якщо для всіх значень аргументу х з деякого околу точких₀ значення функції більші або дорівнюють її значенню в точці х₀.

Точки мінімуму і максимуму функції називаються точками екстремуму функції.

Значення функції в точці максимуму називається максимумом функції. Значення функції в точці мінімуму називається мінімумом функції.

Мінімуми і максимуми функції називаються екстремумами функціями.

Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції додатна, а справа від неї від’ємна, то дана точка є точкою максимуму функції.

Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції від’ємна, а справа від неї додатна, то дана точка є точкою мінімуму функції.

Зверніть увагу! Не кожна критична точка є точкою екстремуму.

Щоб дослідити функцію на екстремуми, знайдіть знаки похідної на її області визначення, користуючись схемою для дослідження функції на монотонність. Визначте, які з критичних точок є точками екстремуму.

Якщо необхідно знайти екстремуми функції, знайдіть значення функції в точках екстремуму.

Звичайно графік функції розміщений навколо точки дотику з однієї сторони від дотичної. Якщо ж у точці дотику графік функції переходить з однієї сторони дотичної на другу, то такі точки називаються точками перегину функції.

Для того щоб графік функції мав перегин у деякій точці, необхідно, щоб друга похідна функції в цій точці дорівнювала нулю, або щоб друга похідна в цій точці не існувала.