- •1)Матрица: определение, основные понятия. Элементарные преобразования строк матрицы.
- •2)Операции над матрицами.
- •3)Ступенчатый вид и вид Гаусса.
- •4)Определение ранга матрицы.
- •5)Система линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Канелли.
- •6)Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •7)Функция. Ее предел в точке. (стр.42-50)
- •8)Производные функции. (стр.52)
- •9) Комбинаторика. Основные правила.
- •10)Комбинаторные схемы: перестановки, размещения, сочетания.
- •Свойства чисел
- •11) Случайные события и их классификация, алгебра событий. Классическое определение вероятности.
- •16)Дискретная случайная величина: функция распределения, числовые характеристики.(стр.196) Числовые характеристики дискретных случайных величин
1)Матрица: определение, основные понятия. Элементарные преобразования строк матрицы.
Основные понятия и обозначения. Пусть m и n два произвольных натуральных числа. Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа - номер строки и номер столбца.
Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом
Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем:
- множество всех матриц размера m на n;
- матрица A с элементами в позиции (i,j);
- матрица размера m на n.
Элементы , где i=j, называются диагональными, а элементы , где - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.
Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.
Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее внедиагональные элементы равны нулю.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.
Матрица размера называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера называется матрицей столбцом или вектор-столбцом.
Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующих трёх типов:
1) Перестановка двух строк (столбцов) матрицы;
2) Умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;
3) Прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой её строки (столбца), умноженной на любое число.
2)Операции над матрицами.
Равенство матриц. Две матрицы и одинакового размера m на n называются равными, если , i = 1,2,…,m, j=1,2,…,n.
Если матрицы A и B равны, то будем писать A=B.
Линейные операции. Суммой двух матриц A и B размера m на n называется матрица C размера m на n, элементы которой определяются равенством
Сумму матриц A и B будем обозначать C=A+B.
Матрица называется противоположной к матрице .
Теорема 2.1 Операция сложения матриц обладает следующими свойствами: для любых матриц и нулевой матрицы
1) A+B=B+A; (перестановочность или коммутативность операции сложения
2) (A+B)+C = A+(B+C); (ассоциативность или сочетательное свойство)
3) A+O = O+A =A;
4) A+(-A)=(-A)+A=O.
Перечисленные выше свойства непосредственно вытекают из определения и доказываются по единой схеме.
Разностью матриц и называется матрица A+(-B).
Разность матриц A и B будем обозначать A-B.
Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой определены равенством
Произведение матрицы A на число будем обозначать .