4. Постановка и решение задачи о снижении себестоимости продукции

(пример задачи гиперболического программирования:)

Предположим, что продукцию П можно выпускать на двух типах оборудования О1 иО2. Стоимость единицы продукции равна с1 при изготовлении на оборудовании О1 и с2 при изготовлении на оборудовании О2. Пусть условия производства таковы, что из-за ограничений на ресурсы (рабочее время и электроэнергию) при изготовлении x1 продукции на оборудовании О1 и x2 единиц на оборудовании О2 должны выполняться ограничения:

по ресурсам рабочего времени - не более b1 рабочих часов;

известно, что на единицу продукции нп оборудовании О1 пратится а11 часов, а на оборудовании О2 тратится а12 часов;

по потреблении электроэнергии - не более b2 кВт ч; известно, что на единицу продукции на оборудовании О1 тратится а21 кВтч, а на оборудовании О2 - а22 кВт ч.

Требуется найти такие величины x1 и x2, чтобы себестоимость продукции оказалась минимальной и оба ограничения выполнялись.

Математическая модель задачи такова:

Вид оборудования	Стоимость 1ед. продукции	Рабочее время на одну единицу	Затраты электроэнергии на 1ед. продукции	Объем производства
О1	с1=3	а11=1	а21=2	x1
О2	с2=2	а12=2	а22=1	x2

Себестоимость единицы продукции П равна:

h= 3x1 + 2x2

x1+x2 ( x=(x1;x2)Î R),

условия на значения x1 и x2 можно записать ввиде

x1 + 2x2 <=8

2x1 + x2<=6

Следует учесть, что переменные x1 и x2 по своему смыслу не молут быть отрицательными. Это дает еще два ограничения x1>=0, x2>=0.

Изобразим на плоскости x1ox2 множество допустимых планов К: это четырехугольник АВСД рис2

x2

6

А 4 D

В0 3 С 8 x1

Для линии уровня прямой 3x1+ 2x2 , проходящей через начало

x1+x2

координат , - угловой коэффициент равен k=x2/x1 для любой точки (x1;x2) на этой прямой, то зависимость h от k можно получить, деля числитель и заменатель дроби на x1:

3 + 2 (x2/x1) 3+2k

1+(x2/x1) = 1+k

При к=-1 получается вертикальная асимптота графика зависимости h от k ( так как при к® -1 h ® - ¥ ); при h=2- горизонтальная ассимптота ( так как h® 2 при к®¥, что следует из формулы ( 3/k) +2

(1/k)+1

При к=0 получается h=3. Этого достаточно, чтобы представить график h=h(k)':

x2

6

А 4 D

В0 3 С 8 x1

Поскольку нас интересуют линии уровней, проходящие через точки четырехугольника К, который расположен в первой четверти, то достаточно рассмотреть лишь ту часть графика, которая соответствует положительным k.

Из рис видно, что для того, чтобы получить как можно меньшее значение h=f(x), нужно взять как можно большее значение k , так как h(k) убывает при к>=0. Увеличение значения k означает увеличение угла a. Значит прямую, проходящую через точку О, следует поворачивать против часовой стрелки до тех пор, пока она все еще пересекается с многоугольником АВСД. По графику видно, что последний раз что пересечение произойдет в точке А; при дальнейшем повороте линии уровня уже не будут пересекаться с К.

Таким образом, точка А дает оптимальный план для поставленной задачи.

Минимальное значение функции равно значению в точке А. Найдем ее координаты. x1=0, x2=4. Минимальное значение целевой функции в этом случае будет равным 2.

Выводы по задаче снижения себестоимости:

1. Минимально-возможная себестоимость продукции П равна 2 тыс рублей;

2. Оптимальный объем выработки за смену (8ч) 4 единицы продукции;

3. По итогам задачи можно заключить, что выработка продукции на первом оборудовании неэффективна. Его следует заменить более экономичным, например оборудованием типа О2.