2.3 Логнормальный закон распределения и распределение Вейбулла.

Частным случаем нормального распределения является логарифмически-нормальное распределение (логнормальное распределение). Функция плотности вероятности для него имеет вид:

(2.15.)

Вид функции плотности логнормального распределения приведен на рисунке 4.3. Данному распределению подчиняется, например, размер частиц при дроблении какого-либо материала.

Математическое ожидание и дисперсия для данного закона определяется выражениями:

, ,

Где - соответственно математическое ожидание и дисперсия нормального закона распределения ( - связанного с логнормальным соотношением:

Рисунок 2.9- Плотность вероятности логнормального распределения

Еще одним из видов распределений, встречающихся при анализе экспериментальных данных в радиотехнике, являются двухпараметрические распределения: двойное экспоненциальное распределение (распределение Лапласа) и распределение Вейбулла (распределение Релея).

Функция плотности распределения для распределения Лапласа имеет вид:

) (2.16.)

На рисунке 2.9 приведены графики функции плотности распределения и интегральной функции распределения для распределения Лапласа. С помощью двойного распределения Лапласа описываются, в частности, процессы теплообмена океана с атмосферой, а также кинетика квазихрупкого разрушения.

При использовании распределения Вейбулла на вид графика большое внимание оказывает параметр распределения . Чем больше значение данного параметра, тем более острую вершину имеет график. При значениях параметра, меньших единицы, график приближается к виду экспоненциальной зависимости. Данные выводы подтверждаются результатами, приведенными на рисунке 2.10.

Как отмечалось выше, наиболее простым видом распределения является равномерный закон распределения. Для него значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения связаны с величиной интервала, в котором может изменяться случайная величина:

Рисунок 2.10 – Плотность вероятности распределения Вейбулла

, . (2.17)

Правильное применение приведенных выше закономерностей, связывающих положение моментов статистического распределения и его параметров с формой графика плотности вероятности, можно быстро и эффективно выбрать гипотезы о принадлежности полученных экспериментальных данных к тому или иному закону распределения.

Для распределения Вейбулла функция плотности распределения определяется формулой:

a б

Рисунок 2.11 - Распределение Лапласа: а - функция плотности вероятности; б- интегральная функция распределения

, (2.18.)

где - коэффициент масштаба, -параметры распределения. Математическое ожидание и дисперсия данного распределения определяются формулами:

, . (2.19.)

В данных соотношениях Г( - гамма-функция.