21(1). Способы задания поверхности.
простая поверхность.
График гладкой функции (1)
будем называть простой поверхностью. Например, плоскость и параболоид .
2. параметр-ная поверхность. Пусть D - область на плоскости, и и v — декартовы координаты в D.
Уравнения
, , , (2)
где , , - гладкие ф-ции, определенные в , задают некоторое отображение (обозначим его ) этой области в трехмерное пространство с декартовыми координатами . Точка называется регулярной точкой отображения , если в ней ранг матрицы Якоби этого отображения максимальный, т.е. равен двум:
.
Точки области , в которых ранг < 2, называются нерегулярными точками отображения Ф.
Пусть отобр. Ф является регулярным в т. .
теорема (о неявной ф-ции): пусть - регулярная точка параметр-ной кривой, заданной (2) . Тогда у точки сущ-ет -окрестность из D, такая, что образ этой окрестности при отображении представляет собой простую поверхность.
Тогда, пользуясь теоремой о неявной ф-ции, можно доказать, что у точки существует такая окрестность в области все точки которой (т.е. окрестности) явл-ся регулярными точками отображения Ф. Если отображение Ф имеет хотя бы одну регулярную точку, то образ V отображения Ф вместе с самим этим отображением называется гладкой параметризованной поверхностью. Переменные и и v называются параметрами или криволинейными координатами.
Пользуясь той же теоремой о неявной функции, можно доказать, что у точки сущ-ет такая окрестность в области , образ которой при отображении Ф является простой поверхностью, т.е. графиком. Т.о., параметр-ная поверхность как бы склеена из простых поверхностей.
Параметр-кие ур-я (2) в векторной форме
3. общая поверхность. Множество точек пространства, координаты которых связаны ур-ем
F(x, y, z) = 0 (3)
где F(x, y, z) - некоторая гладкая функция, назовем общей поверхностью. Точка М общей поверхности называется особой, если все три частные производные функции F(x,y,z) в этой точке обращаются в нуль:
.
обычно предполагают, что общая пов-сть имеет хотя бы одну неособую точку М0. Тогда по теореме о неявной функции у этой точки существует такая окрестность в пространстве, внутри которой поверхность (3) представляет собой простую поверхность, то есть график некоторой функции z=f(x, y). Т.о., общая поверхность как бы склеена из простых поверхностей.
Если из параметрических ур-ний (2) исключить параметры и и v, то получим ур-е вида (3). Обратно, пусть дано ур-е (3). Зададим произвольно (гладкие) функции x(u,v) и y(u,v). Подставив их в ур-е (3), найдем ф-цию z(u,v). Полученные три ур-я вида (2) задают некот. параметризацию общей пов-ти (3).
Полагая в уравнениях (2) или (3)
u=u(t), v=v(t) (4)
мы задаем на параметризованной поверхности некоторую кривую, векторное ур-е которой имеет вид
Ур-я (4) наз-ся внутр-ми ур-ми кривой на пов-ти.
Дифференцируя последнее уравнение, найдем касательный вектор кривой (4)
(5)
Рассмотрим равенство (5) в некоторой точке M(u,v) поверхности V. Касательный вектор в точке M(u,v) к произвольной кривой на поверхности явл. линейной комбинацией векторов и . Т.о, касательные векторы ко всем кривым на поверхности в регулярной точке M(u, v) лежат в одной и той же плоскости, которая наз. касательной плоскостью к пов-ти в точке M(u,v).
Векторы и образуют базис в касат. пл-ти. Прямая, проходящая через точку М перпенд-но касат-ой пл-ти, наз. нормалью к пов-ти V в точке М. В регулярной точке в качестве направляющего вектора нормали можно взять векторное произведение Корд-ми вектора являются миноры матрицы Якоби. Поэтому канонические уравнения нормали имеют вид
,
а ур-ие касат-ой пл-ти
Здесь x, y, z - декартовы корд-ты т. М на пов-ти, X, У, Z — декартовы корд. текущей точки нормали или касательной плоскости.
Теорема. Вектор направлен перпендик.
касательной плоскости, проведенной к поверхности, в точке .
Док-во. F(x,y,z) = 0, но , , z=z(t), тогда F(x(t),y(t),z(t)) = 0. Продиф-руем по t и найдем значение в точке :
, (6)
причем - координаты вектора , лежащего в касательной плоскости, а координаты вектора . тогда получается, что (6) – скалярное произведение ( , )=0, а это означает перпендик-сть этих векторов в плоскости, содержащей эти векторы. Аналогичным образом можно доказать перпендик-сть вектора любому вектору из касательной плоскости, проведенной в точке , что и доказывает перпенд-сть вектора касат. пл-сти.
Для простоты записи, положим . Тогда ур-е касательной плоскости для общей пов-сти в точке :
.
ур-е нормальной плоскости для общей пов-сти в точке :
.