- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Кемерово 2012
- •Выбор номеров задач контрольной работы
- •Методические указания к контрольной работе
- •3. Теория функций комплексного переменного
- •3.1. Комплексные числа и действия над ними.
- •3.2. Алгебраические действия над комплексными числами.
- •4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Общее решение однородного уравнения
- •Частное решение неоднородного уравнения
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Список рекомендуемой литературы
Дифференциальные уравнения первого порядка
Тип дифферен-циального уравнения пер-вого порядка |
Вид уравнения |
Метод решения |
1. С разделяю-щимися пере-менными |
|
|
2. Однородное |
|
Подстановка , приводит к уравнению первого типа |
3. Линейное |
|
Подстановка приводит к уравнениям первого типа |
произвольную постоянную для полагаем равной нулю. Получаем уравнение для нахождения функции
.
Решение исходного уравнения имеет вид
.
При решении задач № 121-150 используются приёмы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, изложенные в литературе [2, т. 2, гл. VI, § 8, 9, с. 186 - 197; 4, п. 12.11-12.13, с. 279-286].]..
Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения используется табл. 3, а для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения используется табл. 4.
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Таблица 3
Общее решение однородного уравнения
Вид общего решения однородного уравнения |
Корни характеристического уравнения |
1. |
– вещественные, |
2. |
– вещественные, |
3. |
– комплексные, |
Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде , где – общее решение однородного уравнения
,
которое определяется по табл. 3, а – частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.
Для определения составим характеристическое уравнение
.
Его корни . Следовательно, .
Так как правая часть уравнения , то .
Здесь .
.
Подставив эти значения в наше уравнение, получим
Таблица 4
Частное решение неоднородного уравнения
Вид правой части неод-нородного дифференци-ального уравнения |
Вид частного решения |
, – многочлен степени |
, где
- многочлен степени с не-определёнными коэффициентами |
– многочлен степени , – многочлен степени |
равно наибольшей из степеней и |
Сократим на и сгруппируем члены с
или .
Приравниваем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой части равенства, при одинаковых степенях . Получаем систему уравнений для определения .
Итак, .
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
, отсюда
.
Подставляя в эти выражения начальные условия , найдём .
Итак, искомое решение имеет вид
.
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде , где – общее решение однородного уравнения
,
которое определяется по табл. 3, а – частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.
Для определения составим характеристическое уравнение
.
Его корни .
Согласно таблице 3 , то есть
.
Для определения используем табл. 4. Так как , то . Следовательно,
.
Для определения подставим в первоначальное уравнение
,
.
Тогда уравнение примет вид
Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой части этого уравнения, получим систему
.
Общее решение нашего уравнения имеет вид
.
Отсюда
Найдём из начальных условий постоянные .
Итак, искомое решение имеет вид
.
Контрольная работа №2
Интегралы.
1-30. Вычислить неопределённые интегралы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
|
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
|
. |
31-60. Задачи на геометрические приложения определённого интеграла
Найти площади частей, на которые круг делится параболой .
Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью абсцисс .
Найти длину дуги параболы от точки до точки .
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и .
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и .
Найти площадь фигуры, ограниченной параболами и .
Найти площадь фигуры, ограниченной линией и прямыми .
Найти длину дуги кривой между точками её пересечения с осью .
Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .
Найти длину дуги кривой от точки до точки .
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией и осью абсцисс .
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .
Найти площади фигур, на которые парабола делит круг .
Вычислить площадь фигуры, заключённой между линией и параболой .
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями и .
Найти длину дуги кривой между точками её пересечения с осями координат.
Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .
Найти длину дуги кривой от точки до точки .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Найти площадь фигуры, ограниченной линией и прямыми .
Найти длину дуги кривой от до точки .
Найти объём тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием и высотой вокруг высоты.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .
Найти длину дуги астроиды .
Найти длину дуги полукубической параболы от начала координат до точки .
Фигура ограничена кривой и осями координат Найти объём тела вращения.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и осью .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми .
найти площадь фигуры, ограниченной кривыми .
Задачи № 61-90. Задания: а) представить комплексное число в тригонометрической форме, б) представить комплексное число в показательной форме; в) выполнить указанные действия над комплексными числами, г) вычислить корень или решить уравнение.
61. а) , б) , в) , г) ;
62. а) б) , в) , г) ;
63. а) б) , в) , г) ;
64. а) , б) , в) , г) ;
65. а) , б) , в) , г) ;
66. а) , б) , в) , г) ;
67. а) , б) в) , г) ;
68. а) , б) в) , г) ;
69. а) , б) , в) , г) ;
70.а) , б) , в) , г) ;
71. а) б) , в) , г) ;
72. а) , б) , в) , г)
73.а) , б) в) , г) ;
74. а) , б) , в) , г) ;
75. а) , б) в) , г) ;
76. а) , б) , в) , г) ;
77. а) , б) , в) , г) ;
78. а) , б) в) , г) ;
79. а) , б) , в) , г) ;
80. а) , б) , в) , г) ;
81. а) , б) , в) , г) ;
82. а) , б) , в) , г) ;
83.а) , б) , в) , г) ;
84. а) , б) , в) , г) ;
85. а) , б) , в) , г) ;
86. а) , б) , в) , г) ;
87. а) , б) , в) , г) ;
88. а) , б) , в) , г) ;
89. а) , б) , в) , г) ;
90. а) , б) , в) , г) .