5) Исследовать возможность улучшения обусловленности задачи посредством внесения малого случайного возмущения в матрицу системы.

	|| Ainv ||	Cond	Real Error
без возм.	9.604E+0012	2.262E+0013	5.400E+0000
с возм.	1.589E+0008	2.888E+0008	2.002E-0002

Для матрицы №5 порядка 10 использовалась модель возмущения Md. Возмущение было действительно малым, т.к. || Md ||= 9.644E-0009, но не смотря на это удалось добиться снижения нормы обратной матрицы, числа обусловленности и фактической ошибки вычисления. Т.о. способ внесения случайного малого возмущения в матрицу системы может использоваться для более получения более точного решения.

6) Для 2-3 задач с «хорошей» матрицей ( = 10² - 10⁴ ) посредством внесения в матрицу системы возмущений различной величины сделать заключение о приемлемой для получения требуемой (наперед заданной) точности решения степени неопределенности в задании исходных данных.

Тип возмущения	Величина	Real Error	Relative Error	ErrEst([P])	ErrEst([M])
без возмущения		0	0	4.02E-19	1.26E-17
M	kEpsA = 1 kEpsB = 0	0	0	4.02E-19	1.90E-17
M	kEpsA = 0 kEpsB = 1	0	0	4.02E-19	1.08E-19
M	kEpsA = 10^7 kEpsB = 0	4.29E-10	2.68125E-11	8.95E-11	1.58E-10
M	kEpsA = 0 kEpsB = 10^7	1.10E-09	6.875E-11	1.11E-10	1.11E-10
M	kEpsA = 10^7 kEpsB = 10^7	9.80E-10	6.125E-11	2.86E-11	1.52E-10
P	kEpsA = 10^7 kEpsB = 0	6.59E-10	4.11875E-11	1.24E-09	1.94E+01
P	kEpsA = 0 kEpsB = 10^7	1.10E-09	6.875E-11	1.11E-10	1.94E+01
P	kEpsA = 10^7 kEpsB = 10^7	2.03E-09	1.26875E-10	1.13E-09	1.94E+01

Таблица для матрицы №1 порядка 8 (Cond = 791.3)

Т.о. хорошо обусловленные матрицы достаточно устойчивы к погрешности входных данных.

7. Повторить эксперимент п.6 для 2-3 задач с плохо обусловленной матрицей.

Тип возмущения	Величина	Cond	Real Error	Relative Error	ErrEst([P])	ErrEst([M])
Без возмущения		8,45E+18	1102,00	68,875	1,23E-02	1,23E-02
м	kEpsA = 1,000E+0001	8,45E+18	1102,00	68,875	1,23E-02	1,23E-02
	kEpsA = 1,000E+0006	8,45E+18	1102,00	68,875	1,23E-02	1,23E-02
	kEpsA = 1,000E+00011	3,44E+18	797,70	49,85625	7,46E-01	1,50E+00
	kEpsA = 1,000E+0016	система вырождена
	kEpsA = 1,000E+0021	3,76E+18	4,1E+10	2,56E+09	1,80E+00	1,83E+00
	kEpsA = 1,000E+0026	6,10E+18	4,6E+06	2,89E+05	2,08E-01	7,82E-01
р	kEpsA = 1,000E+0001	8,79E+18	6,8E+02	4,27E+01	1,28E-02	1,79E+10
	kEpsA = 1,000E+0006	3,92E+18	5,1E+02	3,20E+01	5,45E-03	1,06E+10
	kEpsA = 1,000E+0011	4,64E+18	7,2E+01	4,47E+00	2,22E-03	8,87E+10
	kEpsA = 1,000E+0016	система вырождена
	kEpsA = 1,000E+0021	5,21E+16	4,40E+00	2,75E-01	3,94E+00	8,57E+09
	kEpsA = 1,000E+0026	6,78E+16	1,00E+01	6,25E-01	2,79E+05	2,93E+09

Как следует из таблицы, посредством внесения возмущения в матрицу, относительная ошибка достигает минимума при параметре возмущения Keps порядка 15-20. Т.е. внесение возмущений напротив приводит к более точным результатам, в случае плохо обусловленных матриц.

8) Рассмотрев возмущения для трех матриц порядка 8 с хорошим числом обусловленности, можно сказать, что число обусловленности Cond остается постоянным. Это означает, что различные неточности при задании входных данных не приведут к большой ошибке вычисления.

	Keps A	Keps B	Фактическая ошибка	Относительная ошибка	ErrEst([Р])	ErrEst([M])
						«До»	«После»
P-возмущения (пункт №6)	1.000Е+0007	0	1.74E-03	1.09E-04	6.62E-04	1.13E-03	8.60E+08
	0	1.000Е+0007	2.01E-03	1.25E-04	8.56E-05
	1.000Е+0007	1.000Е+0007	2.85E-03	1.78E-04	4.72E-04
М-возмущения (пункт №7)	10	0	1.10E+03	6.89E+01	1.23E-02	1.23E-02	1.83E+00
	1.000Е+0006	0	1.10E+03	6.89E+01	1.23E-02
	1.000Е+0011	0	7.98E+02	4.99E+01	7.46E-01
	1.000Е+0021	0	4.09E+10	2.56E+09	1.80E+00
	1.000Е+0026	0	4.62E+06	2.89E+05	2.08E-01

(для пункта 6 Cond = 2,45E+10;

для пункта 7 Cond = 8,45E+18)

Вывод: Для «хороших» матриц оба метода дают примерно одинаковые результаты, для систем с плохо обусловленными матрицами наблюдаем, что фактическая ошибка больше, чем с хорошо обусловленными.

По данным п.6 и п.7, в случаю внесения в матрицу возмущения типа «М», видно, что наиболее близкие значения оценок ошибки к фактической ошибке дал метод оценки ошибки решения по матрице возмущения типа М(ErrEst[M]). В случае внесения в матрицу возмущения типа «Р», видно, что наиболее близкие значения ошибки к фактической ошибке дал метод оценки ErrEst[Р]. Эти методы учитывают не только изменения числа обусловленности, но и вносимое возмущение, что позволяет получать более близкие к истине значения ошибки вычислений. Поэтому, метод оценки ErrEst(Cond) оказался самым малоподходящим.

9) Применить для решения нескольких систем из пунктов 2-4 итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя; проверить реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра матрицы В проверить выполнение теоремы сходимости стационарного метода; выявить взаимосвязь скорости сходимости итерационного процесса с величиной спектрального радиуса матрицы В.

Для матриц порядка 3 начальное вектор точного решения (3 6 9), порядка 8 – (3 6 9 5 7 2 4 8), порядка 13 – (0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144). В качестве начального приближения использовались вектора, все координаты которых равны единице.

N матрицы	Метод	Порядок	Точность		Cond	Кол-во итераций	|r|	Real Error
1	Якоби	3	1.00E-04	0.00E+00	1.18E+01	4	0.00E+00	0.00E+00
		8	1.00E-04	0.00E+00	7.91E+02	9	2.33E-09	3.23E-11
		13	1.00E-04	0.00E+00	8.33E+04	14	0.00E+00	0.00E+00
1	Гаусс-Зейдель	3	1.00E-04	0.00E+00	1.18E+01	4	0.00E+00	0.00E+00
		8	1.00E-04	0.00E+00	7.91E+02	9	2.33E-09	3.23E-11
		13	1.00E-04	0.00E+00	8.33E+04	14	0.00E+00	0.00E+00
5	Якоби	3	1.00E-04	1.72E+00	6.81E+02	∞
		8	1.00E-04	6.04E+00	2.45E+10	∞
		13	1.00E-04	1.04E+01	8.80E+12	∞
5	Гаусс-Зейдель	3	1.00E-04	9.81E-01	6.81E+02	254	1.39E-04	3.43E-03
		8	1.00E-04	1.00E+00	2.45E+10	1602	9.94E-05	3.27E-01
		13	1.00E-04	1.00E+00	1.09E+14	18259	3.75E-05	1.75E-01
2	Якоби	3	1.00E-04	1.41E+00	1.93E+01	∞
		8	1.00E-04	4.87E+00	1.35E+02	∞
		13	1.00E-04	8.33E+00	3.51E+02	∞
2	Гаусс-Зейдель	3	1.00E-04	6.67E-01	1.93E+01	27	1.41E-04	4.69E-05
		8	1.00E-04	8.75E-01	1.35E+02	85	6.75E-04	2.59E-04
		13	1.00E-04	9.23E-01	3.51E+02	264	1.18E-05	3.02E-07
11	Якоби	3	1.00E-04	2.18E+00	5.95E+03	∞
		8	1.00E-04	1.36E+01	5.76E+13	∞
		13	1.00E-04	2.59E+01	2.67E+14	∞
11	Гаусс-Зейдель	3	1.00E-04	1.29E+00	5.95E+03	∞
		8	1.00E-04	3.77E+00	5.76E+13	∞
		13	1.00E-04	5.89E+01	2.67E+14	∞

Вывод: для большинства исследуемых матриц метод Гаусса-Зейделя проявил себя лучше, чем метод Якоби. Для исследуемых матриц Метод Гаусса-Зейделя сходится при различной обусловленности, в то время как метод Якоби сошелся лишь для матрицы №2 (хорошо обусловленной).

Из полученных результатов видно, что для данных методов выполняется теорема сходимости: метод сходится, если < 1 , где B = D * ( A - D ) для метода Якоби, B = E - (D + L ) * A для метода Гаусса-Зейделя (A – исходная матрица, D – диагональ исходной матрицы, L – нижний треугольник исходной матрицы). Также, исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что метод сходится тем медленнее, чем ближе спектральный радиус к единице, при спектральном радиусе больше единицы, метод расходится.