Математическая модель представления релейно-контактных схем с помощью булевых функций

Элементы, из которых строятся контактные схемы- это электрические контакты с двумя положениями: «замкнуто» и «разомкнуто». Рассмотрим тогда высказывание А=«Контакт а замкнут»: оно будет истинным (А=1), если данный контакт пропускает ток, и ложным (А=0) в противном случае.

1.Дизъюнкции двух высказываний AvB соответствует схема параллельного соединения контактов а и b. Данная схема пропускает ток, если замкнут хотя бы один из контактов.

2.Конъюнкции А۸В соответствует схема, составленная из двух последовательно соединенных контактов а и b, которая пропускает ток тогда и только тогда, когда замкнуты оба контакта.

3 .Отрицанию высказывания А соответствует размыкающий контакт, который мы условились обозначать a', управляемый тем же устройством, что и контакт а.

Анализ и синтез релейно-контактных схем с использованием аппарата математической логики

Составление схемы с заданными наперед условиями работы называется задачей синтеза релейно-контактных схем и является первой важной задачей всей этой теории. Она состоит в следующем: требуется построить схему, которая проводила бы ток лишь при вполне определенных заданных заранее условиях.

Разберем подробнее на примере. Допустим, требуется построить релейно-контактную схему с функцией проводимости f(x, y, z) = (x→ (y→ z’)) V (xy↔z). Для начала выразим данную функцию через функции ’, ^., V, причем так, чтобы знак ’ стоял лишь на переменных и не стоял на скобках. Для этого воспользуемся некоторыми свойствами булевых функций (см. стр.9). Имеем:

f(x, y, z) = (x→ (y→ z’)) V (xy ↔ z) = (x' V (y→ z’)) V (xy → z)(z → xy) =

= x’ V y’ V z’ V (x’V y’V z)(z’ V xy).

П олученная функция равносильна данной, но зато представима в виде релейно-контактной схемы. Дейтсвительно, она состоит из 4 параллельных ветвей, первые 3 из которых содержат в себе только размыкающие контакты x', y', z', а четвертая ветвь представляет собой последовательное соединение двух разветвлений: (x’V y’V z) и (z’ V xy). Соответствующая схема имеет вид, представленный на рис.7:

Рис.7. Схема, заданная функцией проводимости

f(x, y, z) = x’ V y’ V z’ V (x’V y’V z)(z’ V xy)

Естественно было бы выбирать для каждой булевой функции самую простую или одну из самых простых реализующих ее ре­лейно-контактных схем. Поэтому задача анализа или упрощения релейно-контакт­ных схем и является вто­рой важной задачей теории релейно-контактных схем.

Две релейно-контактные схемы, составленные из одних и тех же реле, называются равносильными, если одна из них проводит ток тогда и только тогда, когда другая схема проводит ток, то есть если они обладают одинаковыми функциями проводимос­ти.

Из двух равно­сильных схем более простой считается та, которая содержит мень­шее число контактов. Так что задача упрощения релейно-контактной схе­мы сводится к нахождению более простой равносильной ей схемы обычно путем преобразования ее функции проводимости.

П

Рис.8. Схема, заданная функцией проводимости

f(x, y, z) = x’ V y’ V z’ V (x’V y’V z)(z’ V xy) при значениях x=y=z=1проводит ток

опробуем упростить схему из предыдущего примера. Заметим, что данная точно схема проводит ток, если хотя бы один контакт – размыкающий, то есть если x=0, или y=0, или z=0, так как тогда x’=1, или y’=1, или z’=1 сответственно, и ток сможет пройти через одну из трех верхних ветвей. Остается рассмотреть случай x=y=z=1: в такой ситуации три верхние ветви разомкнуты, но ток сможет пойти по направлению:

Таким образом, данная схема проводит ток при любых значениях контактов x, y, z. А значит, ее можно представить в виде просто проводника.

Помимо задач синтеза и анализа на практике часто встречается еще одна немаловажная задача: построить наиболее простую релейно-контактную схему по заданным условиям работы. В таком случае обычно известно лишь при каких значениях контактов схема должна проводить ток, а при каких – нет, то есть не дана даже функция проводимости. В таком случае алгоритм решения выглядит так:

1. Найти совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) для функции проводимости будущей схемы (алгоритм см. стр.7).

2. Максимально упростить ее упростить (см. задачу анализа).

3. Начертить релейно-контактную схему полученной функции проводимости (см. задачу синтеза).

К примеру, рассмотрим такие условия работы:

f(0, 0, 0) = f(1, 0, 1) = 1

Это означает, что требуется построить релейно-контактную схему, в которую будут входить 3 контакта – обозначим их x, y, z, – и которая будет проводить ток только при значениях x=y=z=0 и x=1, y=0, z=1.

С ДНФ форма искомой функции проводимости выглядит так:

f(x, y, z) = (x’ y’ z’)V(x y’ z)

П

Рис.9. Релейно-контактная схема, для функции проводимости

f(x,y,z) =y'(x’z’Vxz)

осле упрощения:

f(x, y, z) =y' (x’z’ V xz)

Соответствующая схема представлена на рис.9.

Цифровые устройства ЭВМ, работающие по принципу релейно-контактных схем