1.2.2 Метод Ньютона
Метод Ньютона (также известный как метода касательных) - это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.
Чтобы
численно решить уравнение 
методом
простой итерации,
его необходимо привести к следующей
форме: 
,
где 
— сжимающее
отображение.
Для
наилучшей сходимости метода
в точке очередного приближения 
должно
выполняться условие 
.
Решение данного уравнения ищут в виде 
,
тогда:
В
предположении, что точка приближения
«достаточно близка» к корню 
,
и что заданная функция непрерывна 
,
окончательная формула для 
такова:
С
учётом этого функция 
определяется
выражением:
Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:
По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения .
1.2.3 Математическое решение задачи
Приведение формулировки задачи к виду пригодному для решения методом Ньютона и методом бисекции.
Для обоих методов необходима форма функции вида:
Для заданной в варианте функции
после преобразования получаем
Соответственно там, где данная функция будет равна нулю, там и будет пересечение функций tg(x) и 2*x.
Кроме того для метода Ньютона необходима функция производной, которая для данного варианта будет иметь вид:
1.3 Решение путём написания программы
1.3.1 Блок схема программы и блок-схемы алгоритма поиска
решения
Вычисление функции: Вычисление производной функции:
Определение знака:
да
Начало кнопки:
да
нет
нет
нет
Алгоритм бисекций:
да
да нет
Метод Ньютона:
нет
да