Зразки розв’язування задач

Задача 1. Знайти похідні функцій:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) .

Розв’язання.

1) Винесемо сталий множник за знак похідної, а потім застосуємо формулу 2 таблиці похідних

.

Аналогічно дістанемо:

2) .

3) .

4) .

5) .

Задача 2. Знайти похідні функції:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Розв’язання.

1) Знайдемо похідну від алгебраїчної суми як алгебраїчну суми похідних доданків:

2) .

3) Знайдемо похідну за основним правилом 3:

.

4) Використаємо правило 4:

.

5)

Задача 3. Знайти похідні складених функцій:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Розв’язання.

1) Знайдемо похідну від першого доданку за формулою:

, де .

Тоді

.

Похідну від другого доданку знайдемо аналогічно:

.

Загалом

.

2)

.

3)

.

4)

5) =

.

Задача 4. Обчислити значення похідної функції у точці х=2а.

Розв’язання:

.

Задача 5. Знайти похідну параметрично заданої функції:

, .

Розв’язання. Знайдемо

;

;

.

Задача 6. Знайти похідну неявно заданої функції:

1) ;

2) .

1) Диференціюємо по х ліву і праву частину рівняння, враховуючи, що y – це функція від х:

.

Розв’язуємо рівняння відносно .

;

.

2) Диференціюємо по х:

;

;

;

;

.

Задача 7. Скласти рівняння дотичних до кривих:

1) у точці з абсцисою ;

2) у точці де, ;

3) у точці .

Розв’язання:

1) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої:

, ,

а також .

Підставимо в рівняння дотичної:

;

;

.

2) .

;

.

Знайдемо координати точки М₀, через яку проведена дотична: , .

Рівняння дотичної

;

.

3) Знайдемо похідну неявної функції:

;

;

.

Рівняння дотичної:

;

;

.

Задача 8. Знайти похідну другого порядку функції:

1) ;

2) ;

3) .

Розв’язання:

1) Знайдемо

;

.

2) ;

; ;

.

;

;

.

3) ;

;

;

;

.

Диференціюємо по х ще раз, а потім підставимо замість її вираз через х.

.

Функція однієї змінної та способи її задання. Неявно задана та параметрично задана функції.

Функція однієї змінної – це відображення однієї множини дійсних чисел х (область визначення функції, аргументи) на іншу множину у (множина значень функції) за певним правилом. При цьому кожному даному х має відповідати не більше одного у. Зворотне відображення множини у (тепер ця множина стає областю визначення) на множину х (множина значень) називають оберненою функцією. Важливо зазначити, що далеко не кожна функція має обернену для незмінних множин х та у.

Задати функцію однієї змінної можна за допомогою: 1) таблиці; 2) графіка; 3) формули, тобто алгебраїчного алгоритму; 4) за описом алгоритму переведення аргументів х у множину значень у.

Приклад 5. Складемо таблицю залежностей проекцій точки одиничного кола від її кута α, який відраховуватимемо від горизонтальної вісі проти годинникової стрілки (рис.26). Проекції кута на горизонтальну вісь назвемо косинусом, а на вертикальну вісь – синусом.

Тоді таблиця для цих двох функцій виглядатиме так:

Кут α	0	30˚	45˚	60˚	90˚	120˚	135˚	150˚
Синус	0		1/		1		1/
Косинус	1		1/		0	-	- 1/	-

За даною таблицею можна побудувати графік, однак третього способу – формули – вивести не вдасться (позначення sin та cos – це лише символи!). Створюючи таблицю і графіки для цих основних тригонометричних функцій, ми фактично спиралися на четвертий спосіб задання функції.

Приклад 6. Виразити об'єм циліндра, вписанного в кулю радіусом , як функцію його висоти .

Розв’язання. Об’єм циліндра з радіусом основи дорівнює . За теоремою Піфагора , отже, . Згідно умови задачі , тому . Отже, .

Функцію однієї змінної можна також задати неявно. Наприклад, рівняння визначає коло радіусом 1. Звідси у як функція х не може бути записана однозначно: потрібні дві формули, тобто у= . Тому аналітичний неявний спосіб задання функції у багатьох випадках зручніший і навіть буває єдино можливим. Загальний запис неявно заданої функції однієї змінної такий: f(x, y)=0.

Зауваження 1. Зазвичай виразити через при неявному заданні функції не так просто, як в наведеному прикладі. Але часто і не вимагається виражати функцію явно.

В багатьох випадках допомагає параметричне задання функції у=f(x) за допомогою деякого третього змінного параметра t. Так, наприклад, те ж саме одиничне коло можна задати за допомогою двох виразів: та , причому параметр (t вимірюємо в радіанах). Ще раз варто підкреслити, що далеко не завжди складну функцію можна задати явним виразом у=f(х). А от параметрично її вдається задати значно частіше. Це, зокрема, можна пояснити тим, що всі реальні вимірювані величини залежать від часу t як від параметра. Загальний вигляд параметрично заданої функції такий: x=x(t); y=y(t) .

34.Диференціал функції та застосування його в наближених обчислень

Визначення. Диференціалом функції в точці х називається головна, лінійна відносно , частина приросту функції в цій точці:

. (2)

Диференціал називають також диференціалом першого порядку.

Якщо , то , тому , тобто диференціал неза-лежної змінної збігається з її приростом . Тому формулу (2) можна запи-сати так

. (3)

Формула (3) дає змогу розглядати похідну як відношення диференціала функції до диференціала незалежної змінної .

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рисунка:

у = f(x)

у + ∆у Р

∆у

Q

dy

М

у ∆х N

α А

0 х х+∆х

Маємо

PN = ∆y, QN = MN tgα = ∆xf ′(x) = f′(x)dx = dy.

Отже, диференціал функції f(x) при заданих значеннях х і ∆х дорівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f(x) в точці х. Приріст функції ∆у при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної АQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень ∆х.

З'ясуємо механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка рухається за відомим законом S = f(t), де f(t) – диференційовна на деякому проміжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f ′(t) ∆t при фіксованих значеннях t i ∆t – це той шлях, який прошла б матеріальна точка за час ∆t, якби вона рухалась прямолінійно і рівномірно із сталою швидкістю v = f ′(t).

Зрозуміло, що фактичний шлях ∆S у випадку нерівномірного руху на відміну від диференціала dS не є лінійною функцією часу ∆t і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час ∆t достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до t + ∆t є майже рівномірним.

Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

Як уже зазначалось, приріст функції у точці можна наближено замінити диференціалом в цій точці: .

Підставивши сюди значення і , дістанемо

.

Абсолютна похибка величини − є при нескінченно малою вищого порядку, ніж , тому що при величини і еквівалентні

.

Іноді користуються наближеною рівністю . (6)

Якщо функція у = диференційовна в точці х, то абсолютна похибка фор-мули (6) наближено дорівнює абсолютній величині диференціала:

.

Відносна похибка формули (6) визначається за формулою:

.

35.Функція двох і більше змінних.Знаходження частинних похідних

Нехай задано множину D упорядкованих пар чисел ( х; у ). Якщо кожній парі чисел ( х; у ) за певним законом відповідає число z, то кажуть, що на множині D визначено функцію z від двох змінних х і у і записують .

Наведемо такий приклад: площу S прямокутника із сторонами а і b знаходять за формулою S = ab. Кожній парі значень а і b відповідає єдине значення площі, тобто S − функція двох змінних: S = f( a;b).

Змінну z називають залежною змінною ( функцією ), а змінні х та у −незалежни-ми змінними ( аргументами ).

Визначення. Множину пар ( х; у ) значень х та у, для яких функція визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають або D.

Множину значень z позначають або Е.

Оскільки кожній упорядкованій парі чисел ( х;у ) відповідає в прямокутній системі координат Оху єдина точка М( х;у ) площини ( і навпаки ), то функцію , де ( х;у )  D, можна розглядати як функцію точки, тобто . Областю визначення функції в цьому випадку є деяка множина точок площини Оху. Це може вся площина, або частина площини, обмежена певними лініями.

Визначення. Лінію, що обмежує область D, називають межою області визначення. Область, яка містить лише внутрішні точки, називають відкритою. Якщо ж до області визначення належать і всі точки межи, то така область називається замкненою.

Функція двох змінних, як і функція однієї змінної, може бути задана різними способами. Ми користуватимемося аналітичним способом, коли функція задається за допомогою формули. Областю визначення такої функції вважається множина всіх тих точок площини, для яких задана формула має зміст.

Графіком функції двох змінних є деяка поверхня. Поверхня, яка відповідає рівнянню , буде проектуватися на площину хОу в область визначення функції . Графік функції двох змінних значно складніший, ніж графік функції однієї змінної. Існує спосіб зображення функції двох змінних, який полягає в перетині поверхні площинами ( С = const ), паралельними площинами хОу.

z

M

0 y

D

x

Визначення. Графіком функції в прямокутній системі Оху називають геометричне місце точок , проекції яких (х;у) належать області D. Це геометричне місце точок утворює у тривимірному просторі певну поверхню, проекцією якої на площину Оху є множина D.

Наприклад, графіком функції є півсфера з радіусом 1, розміщена над площиною хОу. Якщо спроектувати всі точки цієї поверхні на площину хОу, дістанемо круг з радіусом 1 і зцентром у початку координат. А це якраз і є областю визначення даної функції.

z

В

А1 0 А у

В1

х

Нехай функція визначена в деякому околі точки М(х;у). На дамо змінній х приросту х , залишаючи змінну у незмінною, так щоб точка належала заданому околу.

Величина називається частинним приростом функції по змінній х.

Аналогічно називається частинним приростом функції по змінній у.

Якщо існує границя то вона називається частинною похідною функції в точці М(х;у) по змінній х і позначаєть-ся

; ; ; .

− частинні похідні по х в точці .

Аналогічно визначається частинна похідна функції в точці М(х;у) по змінній у

і позначається ; ; ; .

Правило знаходження частинних похідних

Згідно з означенням, при знаходженні частинної похідної обчислюють зви-чайну похідну функції однієї змінної х, вважаючи змінну у сталою, а при знаход-женні похідної сталою вважається змінна х. Тому частинні похідні знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функцій однієї змінної. Для функції n змінних можна знайти n частинних похідних.

Приклад.

Знайти частинні похідні функції .

Розв’язання:

=

= ;

= = .

Визначення. Для функції f(x, y) вираз z = f( x + x, y + y) – f(x, y) називається повним приростом.

Якщо функція f(x, y) має неперервні частинні похідні, то

Використовуючи теорему Лагранжа до виразів, які записані в дужках

де

Отримаємо

Так як частинні похідні неперервні, то можно записати рівності

Визначення. Вираз називається пов-ним приростом функції f(x, y) у деякій точці (х, у), де ₁ і ₂ – нескінченно малі функції при х  0 і у  0 відповідно.

Визначення. Повнимм диференціалом функції z = f(x, y) називається головна лінійна відносно х і у частина повного приросту цієї функції в точці (х, у), тобто

Для функції довільного числа змінних:

Приклад.

Знайти повний диференціал функції

Розв’язання:

;

.

Якщо поверхня задана рівнянням z = f(x, y), де f(x, y) – функція, диференційовна у точці М₀(х₀, у₀), дотична площина у точці N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) існує і її рівняння має вигляд:

.

Поверхня має у деякій точці дотичну площину і дотогож тільки одну, або немає її взагалі.

Приклад.

Знайти рівняння дотичної площини до поверхні у точці М(1;1;1)

Розв’язання:

Рівняння дотичної площини:

Наближені обчислення за допомогою повного диференціала

Нехай функція f(x, y) диференційовна в точці (х, у). Знайдемо повний приріст цієї функції:

.

Якщо підставити в цю формулу вираз

,

то отримаємо наближену формулу:

. Приклад.

Обчислити наближено значення виразу , виходячи із значения функції при x = 1, y = 2, z = 1.

Розв’язання:

Із заданного виразу знайдемо x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = − 0,01,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

Знайдемо значення функції u(1, 2, 1) = .

Знаходимо частинні похідні:

;

;

.

Повний диференціал функції u дорівнює:

;

.

Точне значення цього виразу: 1,049275225687319176.

Частинні похідні вищіх порядків

Якщо функція f(x, y) визначена в деякій області D, то її частинні похідні і також будуть визначени у в цій області або в частині області.

Ці похідні називаються частинними похідними першого порядку. Похідні від цих функцій називають частинними похідними другого порядку.

Продовжуючи диференціювати дані рівності, отримаємо частинні похідні більш високих порядків.

Визначення. Частинні похідні виду і т.п. називаються мішаними похідними.

Теорема. Якщо функція f(x, y) і її частинні похідні визначені і неперервні у точці М(х, у) та її околі, то виконується рівність:

.

Тобто частинні похідні вищіх порядків не залежать від порядку диференціювання.

36.Асимптоти функції.Знаходження асимптот

Асимптоти.

При дослідженні функцій часто буває, що при віддаленні координати х точки кривої в нескінченність крива необмежено наближається до деякої прямої.

Визначення. Пряма називається асимптотой кривої, якщо відстань від змінної точки кривої до цієї прямої при віддаленні точки в нескінченність прямує до нуля.

Слід зазначити, що не всяка крива має асимптоту. Асимптоти можуть бути прямі і похилі. Дослідження функцій на наявність асимптот має велике значення й дозволяє більш точно визначити характер функції і поведінку графіка кривої.

Взагалі кажучи, крива, необмежено наближаючись до своєї асимптоти, може й перетинати її, причому не в одній точці, як показано на наведеному нижче графіку функції . Її похила асимптота у = х.

Розглянемо докладніше методи знаходження асимптот кривих.

Вертикальні асимптоти.

З визначення асимптоти слідує, що якщо або або , то пряма х = а – асимптота кривої y = f(x).

Наприклад, для функції пряма х = 5 є вертикальною асимптотою, так як , .

Похилі асимптоти.

Припустимо, що крива y = f(x) має похилу асимптоту y = kx + b.

у

f(x)

y=kx+b

М

φ

N P

φ

Q x

Позначимо точку перетину кривої і перпендикуляра проведеного до асимптоти асимптотой точкою М, Р − точка перетину цього перпендикуляра з асимптотой. Кут між і віссю Ох позначимо φ. Перпендикуляр МQ до осі Ох перетинає асимптоту в точці N.

Тоді MQ = y – ордината точки кривої, NQ = − ордината точки N на асимптоте.

За умовою: , NMP = , .

Кут  − постійний і не дорівнює 90⁰, тоді

, тоді

. ( 1 )

Отже, пряма y = kx + b − асимптота кривої. Для точного визначення цієї прямої необхідно знайти спосіб обчислення коефіцієнтів k і b.

В отриманій рівності ( 1 ) виносимо за дужки х:

,

Так як х, то , ток як b = const, то .

Тоді , отже, .

Так як , то , отже,

.

Зазначимо, що горизонтальні асимптоти є окремим випадком похилих асимптот при k =0, тобто .

37. Опуклість та угнутість кривої, точки перегину. Дослідження функції на опуклість та угнутість

Крива у = f(х) називається опуклою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать нижче довільної її дотичної на цьому інтервалі. Крива у = f(х) називається угнутою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику,лежать вище довільної її дотичної на цьому інтервалі.

у

0 х

На малюнку показана ілюстрація наведеного вище визначення. При побудові графіка дуже важливо знати, на яких проміжках графік функції f(х) опуклий і на яких він угнутий.

Теорема 1. ( ознаки опуклості та угнутості кривої )

Якщо на проміжку (a, b) друга похідна функції f(x) від'ємна на, то крива y = f(x) опукла на цьому проміжку; якщо друга похідна додатна на (а; b), то крива угнута.

Доведення.

Нехай х₀  (a, b). Проведемо дотичну до кривої в цій точці. Рівняння кривої:

y = f(x). Рівняння дотичної: Необхідно довести, що . За теоремою Лагранжа для f(x) – f(x₀):

, x₀ < c < x.

За теоремою Лагранжа для

Нехай х > x₀ тоді x₀ < c₁ < c < x. Так як x – x₀ > 0 і c – x₀ > 0, і крім того за умовою , отже, .

Нехай x < x₀ тоді x < c < c₁ < x₀ і x – x₀ < 0, c – x₀ < 0, так як за умовою то .

Аналогічно доводиться, що якщо f (x) > 0 на інтервалі (a, b), то крива y=f(x) угнута на інтервалі (a, b).

Визначення. Точка, яка відокремлює опуклу частину неперервної кривої від угнутої чи навпаки, зветься точкою перегину кривої. У точках перегину дотична перетинає криву, бо з одного боку від цієї точки крива лежить під дотичною, а другого боку − над нею.

Теорема 2. Нехай крива визначається рівнянням y = f(x). Якщо друга похідна

f (a) = 0 або f (a) не існує і при переході через точку х = а f (x) міняє знак, то точка кривої з абсцисою х = а є точкою перегину.

Доведення.

1) Нехай f (x) < 0 при х < a і f (x) > 0 при x > a. Тоді при x < a крива опукла, а при x > a крива угнута, тобто точка х = а − точка перегину.

2) Нехай f (x) > 0 при x < b і f (x) < 0 при x > b. Тоді при x < b крива угнута, а при x > b − опукла. Тоді x = b − точка перегину.

Визначення. Значення х, при яких f (х) = 0 або не існує, називають критичними точками другого роду функції f(х).

Приклад.

Знайти точки перегину та визначити проміжки опуклості та угнутості кривої

у = х³.

Розв’язування.

Маємо у = 3х², у = 6х. Друга похідна стає нулем при х = 0. Якщо х < 0, то

у < 0; якщо х > 0, у > 0.

Отже, на проміжку ( −; 0) графік опуклий, а на проміжку (0;) − угнутий. Точка

кривої з абсцисою х = 0 є точкою перегину.

Приклад.

Дослідити на точки перегину криву у = х .

Розв’язування.

Маємо у = 4х³, у = 12х². При х = 0 у = 0. Досліджуємо зміну знака. При

х <0 у > 0 ( крива угнута ), при х > 0 у > 0 ( крива теж угнута ). Друга похідна не змінює знака, крива не має точок перегину.

Приклад.

Знайти інтервали опуклості, угнутості та точки перегину функції у = (крива Гаусса).

Розв’язування.

Знайдемо другу похідну цієї функції. Маємо:

.

Друга похідна визначена для усіх х. Тому критичні точки другого роду знайдемо із рівності ; х1 = − 1, х2 = 1.

Визначимо знак другої похідної при проходженні х через кожну критичну точку. За результатами цього дослідження складемо Таблицю:

х	(−;−1)	х1 = −1	(−1; 1)	х2 = 1	(1; )
f (х)	+	0	−	0	+
f(x)		точка перегину		точка перегину	

Отже, обидві точки х = −1 та х = 1 є точками перегину: (−1; 1) – інтервал опук-лості, (−; −1), (1; ) – інтервали угнутості графіка. Значення функції в точках перегину буде упер. = f(±x) = .

Приклад .

Нехай для деякого товару криві попиту і пропозиції мають відповідно вигляд

р = −3х1+80, р = х2+8, де х1 – кількість товару, що відноситься до попиту, х2 – до пропозиції, р – ціна. Кожна одиниця продукції обкладається податком t. Яку величину податку треба встановити, щоб надходження в казну були макси-мальними?

Розв’язування.

Для того щоб врахувати податки, досить у рівнянні, яке визначає пропорцію замінити р на р – t, оскільки цю суму реально одержує виробник. Отже, можна переписати дане рівняння у вигляді р – t = х2 + 8 або р = х2 + 8 + t.

У точці рівноваги х1 = х2 = х, тобто попит рівний пропозиції, а тому одержуємо,

що

Тут ліві частини рівні, тоді будуть рівними і праві, тобто −3х + 80 = х +8 + t або х = 18 – 0,25t.

Відомо, що сумарний податок Т = t  x, T = t(18 – 0,25t), T = 18t – 0,25t². Макси-

мум цієї функції і треба знайти.

Маємо Т(t) = 18 – 0,5t. Прирівнявши цей вираз до нуля, знаходимо стаціонарну точку: 18 – 0,5t = 0, t0 = 36.

Оскільки Т(t) = − 0,5 < 0, то в даній точці функція Т має максимум,

Тmax = T(36)= 18  36 – 0,25  36² = 324.

Таким чином, величина податку, з точки зору уряду, повинна складати 36 на одиницю товару.

38.Схема певного дослідження функції для побудови її графіка

Процес дослідження функції складається з декількох етапів. Для найбільш повного уявлення про поведінку функції і характер її графіка необхідно відшукати:

1. Область існування функції (це поняття містить у собі і область значень і область визначення функції).

2. Точки розриву (якщо вони є).

3. Інтервали зростання й спадання.

4. Точки максимуму і мінімуму.

5. Максимальне і мінімальне значення функції на її області визначення.

6. Інтервали опуклості і угнутості.

7. Точки перегину (якщо вони є).

8. Асимптоти (якщо вони є).

9. Побудовати графік.

Застосування цієї схеми розглянемо на прикладі.

Приклад.

Дослідити функцію і побудувати її графік.

Розв’язування.

Знаходимо область існування функції. Очевидно, що областю визначення функції є область D(y)=(−; −1)  (−1; 1)  (1; ).

У свою чергу, видно, що прямі х = 1, х = −1 є вертикальними асимптотами кривої.

Областю значень даної функції є інтервал E(y)=(−; ).

Точками розриву функції є точки х = 1, х = −1.

Знаходимо критичні точки: знайдемо похідну функції

.

Критичні точки: x = 0; x = − ; x = ; x = −1; x = 1.

Знайдемо другу похідну функції:

.

Визначимо інтервали опуклості і угнутості кривої.

х						0		1
	+	0	−		−	0	−		−	0	+
						0
f(x)	опукла		опукла		угнута		опукла		угнута		угнута

Видно, що точка х = − є точкою максимуму, а точка х = є точкою мінімуму. Значення функції в цих точках рівні відповідно:

, то −3/2 ; , то 3/2 .

Про вертикальні асимптоти було вже сказане вище. Тепер знайдемо похилі асимптоти:

у = х − рівняння похилої асимптоти.

Побудуємо графік функції:

41.Первісна.Основна властивість первісної.Правила знаходження первісних.Таблиця первісних

Визначення. Функція F(x), визначена на проміжку [а, b] (можливо, нес-кінченому), називається первісною функції f(x) на цьому проміжку, якщо для кожного х  [а, b] похідна існує й справджується рівність = f(x).

Операція відшукання первісної для заданої функції називається інтегруван-ням. Отже, операція інтегрування є оберненою до диференціювання.

Наприклад, функція − первісна функції на R, оскільки

для всіх х  R; функція F(x) = − sin 2x – первісна функції f(x) = cos²x на R, оскільки (cos²x)' = − 2 cos x sin x = − sin 2x для всіх х  R.

Основні властивості первісної.

1. Якщо F(x) – первісна функції f(x) на проміжку [а, b] , то F(x) неперервна

на проміжку [а, b] функція.

Справді, функція F(x) має похідну в кожній точці х  [а, b] , а тому й є

неперервною в кожній точці х  [а, b] .

2. Якщо F(x) – первісна функції f(x) на проміжку [а, b], то функція Ф(х) = F(x) + С,

де С – довільна стала, також первісна функції f(x) на проміжку [а, b].

Справді, Ф' (х) = (F(x) + С)' = F'(x) = f(x).

З цієї властивості випливає, що операція інтегрування не є однозначною. Наступна теорема встановлює, що собою являє набір усіх первісних заданої функції.

Теорема. Якщо F(x) – первісна функція f(x) на проміжку [а, b] то довільну іншу первісну Ф(х) функції f(x) на проміжку [а, b] можна подати у вигляді

Ф(х) = F(x) + C, де С – довільна стала.

Доведення.

За означенням первісної F'(x) = f(x), Ф'(х) = f(x).

Знайдемо похідну функії Ф(х) – F(x):

[Ф(х) – F(x)]' = Ф'(х) − F'(x) = f(x) – f(x) = 0 для всіх х  [а, b] .

За наслідком до теореми Лагранжа, ця функція стала на проміжку [а, b] , тобто Ф(х) – F(x) = C. Отже, Ф(х) = F(x) + C, де С – довільна стала, що й пот-рібно було довести.

З теореми випливає, що множина функцій F(x) + C, де F(x) – одна з первіс-них функцій f(x), a C – довільна стала, повністю вичерпує весь набір первіс-них функцій f(x).

Таблиця основних невизначених інтегралів.

Із означення невизначеного інтеграла випливають такі формули, які надалі називатимемо табличними інтегралами:

1. , ; 2.

3. , (0 < а ≠ 1); 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

42.Невизначений інтеграл та його основні властивості.Інтегрування заміною змінної

Невизначений інтеграл та його властивості.

Визначення. Невизначеним інтегралом функціїї f(x) називається множина всіх її первісних.

Для невизначеного інтеграла вживають позначення . Отже, маємо

де F(x) – будь-яка первісна функції f(x); С – довільна стала.

Знак називається знаком невизначеного інтеграла; функція f(x) – підінте-гральною функцією; вираз f(x)dx – підінтегральним виразом.

Властивості невизначеного інтеграла.

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції; диферен-

ціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, тобто

2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї

функції і довільної сталої, тобто

3. Сталий множник можна виносити з-під знака інтеграла, тобто

якщо k = const ≠ 0, то

4. Невизначений інтеграл алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебра-

їчній сумі інтегралів кожної з цих функцій окремо, тобто

Метод безпосереднього інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування базується на застосуванні табличних інтегралів і основних властивостей невизначеного інтеграла.

Приклад.

Обчислити:

а) б). в). г).

Розв’язування:

а). Зауважимо спочатку, що Звідси маємо:

б). Враховуючи, що маємо:

в). Зауважимо, що tg²x = звідси маємо:

г). Враховуючи, що маємо:

Як бачимо, мистецтво інтегрування полягає в умінні за допомогою власти-востей невизначеного інтеграла перетворити підінтегральний вираз до таблич-ного. Потрібно домогтися, щоб він став таким, як в одному з табличних ін-тегралів, або спочатку хоча б спростився.

Метод заміни змінної.

У багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дає змогу звести знаходження даного інтеграла до знаходження табличного інтеграла. Цей спосіб називається методом заміни змінної або методом підстановки. Він базується на такій теоремі.

Теорема. Якщо необхідно знайти інтеграл , але важко знайти первісну, то за допомогою заміни x = (t) і dx = (t)dt отримаємо:

Доведення.

Продиференціюємо дану рівність:

За властивістю невизначеного інтеграла:

f(x)dx = f[(t)](t)dt

Приклад.

Знайти невизначені інтеграли:

а). .

Виконаємо заміну t = sinx, dt = cosxdt.

б).

Виконаємо заміну

Отримаємо:

Метод інтегрування частинами.

Спосіб основан на відомій формулі похідної добутку (uv) = uv + vu, де u і v – деякі функції від х. У диференціальній формі: d(uv) = udv + vdu.

Проінтегрував, отримуємо

, а виходячи з властивостей невизначеного інтеграла:

або .

Отримали формулу інтегрування частинами, яка дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

Приклад.

Як бачимо, послідовне використання формули інтегрування частинами дозволяє

поступово зпростити функцію і звести інтеграл до табличного.

Приклад.

Бачимо, що при повторному використанні інтегрування частинами функцію не вдалося звести до табличного виду. Однак, останній отриманий інтеграл дорівнює початковому. Тому перенесемо його в ліву частину рівності.

Таким чином, інтеграл знайдено без використання таблиць інтегралів.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

Приклад.

43.Визначений інтеграл та його геометричний зміст.Обчислення площі фігур за допомогою визначеного інтеграла

Визначення. Якщо при будь-якому розбитті відрізка [a, b] такому, що

max x_i 0 і довільному виборі точок _i інтегральна сума наближається до границі S, яка називається визначеним інтегралом від f(x) на відрізку [a, b].

Позначення: , а - нижня границя, b - верхня границя, х - змінна інтегрування, [a, b] - відрізок інтегрування.

Визначення. Якщо для функції f(x) існує границя то функція називається інтегрованою на відрізку [a, b].

Також правильні твердження:

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Властивості визначеного інтеграла.

1. 

2. 

3. 

4. Якщо f(x)  (x) на відрізку [a, b] a < b, то

5. Якщо m і M − відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку [a, b], то:

6) Теорема про середнє значення інтеграла.

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то на цьому відрізку існує точка ε така, що

Доведення.

У відповідності із властивістю 5:

так як функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то вона приймає на цьому відрізку всі значення від m до М. Інакше кажучи, існує таке число ε  [a, b], що якщо

і  = f(), а a    b, тоді .

7) Для довільних чисел a, b, c справедлива рівність:

Зрозуміло, ця рівність виконується, якщо існує кожний із вхідних у нього інтегралів.

8)

Узагальнена теорема про середнє.

Якщо функції f(x) і φ(x) неперервні на відрізку [a, b], і функція φ(х) знакопостійна на ньому, то на цьому відрізку існує точка ε, така, що

Обчислення визначеного інтеграла

Нехай в інтегралі нижня межа а = const, а верхня межа b змінюється. Очевидно, що якщо змінюється верхня межа, то змінюється і значення інтеграла.

Позначимо = Ф(х). Знайдемо похідну функції Ф(х) по змінній верхній межі х.

Аналогічну теорему можна довести для випадку змінної нижньої межі.

Теорема. Для всякої функції f(x), неперервної на відрізку [a, b], існує на цьому відрізку первісна, а це значить, існує невизначений інтеграл.

Теорема. (Теорема Ньютона – Лейбніца)

Якщо функція F(x) – довільна первісна неперервної функції f(x), то

цей вираз відомий під назвою формули Ньютона - Лейбніца.

Доведення.

Нехай F(x) – первісна функції f(x). Тоді згідно до вище наведеної теореми, функція − первісна функція від f(x). Але тому що функція може мати нескінченно багато первісних, які будуть відрізнятися одна від одної сталою С, тобто

при відповідному виборі С ця рівність справедлива для будь-якого х, тобто при х = а:

Тоді , а при х = b: .

Замінивши змінну t на змінну х , одержуємо формулу Ньютона − Лейбніца:

.

Іноді застосовують позначення F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона − Лейбніца являє собою загальний підхід до знаходження визначених інтегралів.

Визначений інтеграл допускає різне геометричне тлумачення, одне з них − площа криволінійної трапеції.

у

+ +

0 a − b x

Відомо, що визначений інтеграл на видрізку являє собою площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x). Якщо графік розміщується нище осі Ох,

тобто f(x) < 0, то площа має знак “−“, якщо графік розміщується вище осі Ох, тобто f(x) > 0, то площа має знак “+”.

Для знаходження сумарної площі використовують формулу .

Площа фігури, обмеженої декількома лініями може бути знайдена за допомогою визначених інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

Приклад.

Знайти площу фігури, обмежену лініями y = x, y = x², x = 2.

Шукана площа ( заштрихована частина ) може бути знайдена як різниця площ двох криволінійних трапецій:

(од²)

44.Формули інтегрування частинами

Функції u = u(x) і v = v(x) неперервні на відрізку [a, b], а також неперервні на цьому відрізку їхні похідні. Якщо проінтегрувати обидві частини рівності

d u(x)v(x)  = v(x)du(x) + u(x)dv(x)

у межах від a до b, то одержимо

u(x)v(x) = v(x)du(x) + u(x)dv(x), uv  = vdu + udv

Звідси одержуємо важливу формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла:

(1)

Висновок цієї формули абсолютно аналогічний висновку формули інтегрування за частинами для невизначеного інтеграла.

За частинами обчислюють, наприклад, інтеграл виду

(x)φ(x)dx,

де Р (х) − многочлен, φ(х) − одна з функцій е , sin x, cos x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arccos x, ln x.

Приклад.

Обчислити інтеграл .

Розв’язування.

Нехай u = x, dv = cos xdx, тоді знаходимо du = dx,

v = = sinx ( взята первісна без сталої С ). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (1), одержимо

= xsinx  − = 2 sin2 − 0sin0 + cosx  = cos2 − cos0 =

= 1 − 1 = 0.

Приклад.

Обчислити dx .

Розв’язування.

Нехай t = , тоді t = 1+ x x = t − 1, dx = 2tdt.

Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність t = :

нижня межа − t = = 1; верхня межа − t = = 2.

Отже,

=

− .

Приклад.

Обчислити .

Розв’язування. Нехай u = lnx, dv = xdx, тоді du = , v = ,

= .

Приклад.

Обчислити .

Розв’язання.

Нехай u = 2x − 3, dv = 4 dx, тоді du = 2dx, v = = ,

= (2x − 3) − =

= = =

= .

45.Інтегрування дробово-раціональних функцій