§ 5.4. Каскад реакторов идеального смешения

Каскад представляет собой несколько последовательно соединенных проточных реакторов (секций) идеального смешения (рис. 5.9). Реакционная смесь проходит через все секции. Можно рассматривать в качестве примера такой модели не только систему последовательно расположенных отдельных аппаратов, но и проточный реактор, тем или иным образом разделенный внутри на секции, в каждой из которых осуществляется перемешивание реакционной смеси (рис. 5.10). Например, близка к такому типу аппарата тарельчатая барботажная колонна.

Рис. 5.9. Схема каскада реакторов идеального смешения

Pиc. 5.10. Схема секционного аппарата с перемешиванием

Для каскада реакторов идеального смешения должны выполняться следующие допущения об идеальности:

• в каждой секции каскада выполняются условия реактора идеального смешения, т. е. мгновенное изменение параметров процесса, равенство параметров во всех точках секции и в потоке, выходящем из нее;

• отсутствие обратного влияния: каждый последующий реактор не влияет на предыдущий.

На рис. 5.11 сравнивается характер изменения концентрации исходного реагента при прохождении реакционной смеси через различные реакторы.

Рис. 5.11. Изменение концентрации реагента при прохождении реакционной смеси через последовательные секции единичного реактора идеального смешения (1), реактора идеального вытеснения (2) и каскада реакторов идеального смешения (3)

Математическая модель каскада реакторов идеального смешения, работающего в изотермическом режиме, представляет собой систему уравнений материального баланса по какому-либо участнику реакции, включающую, по меньшей мере, N уравнений по числу секций каскада.

Уравнения материального баланса для любой секции каскада однотипны. Материальный баланс по компоненту J для i-й секции в стационарном режиме работы каскада имеет вид

(5.18)

[см. уравнение (5.6)] или

где _i – среднее время пребывания реакционной смеси в i-й секции; V – реакционный объем i-й секции; C_J,j–1 – концентрация участника реакции J на входе в i-ю секцию, равная концентрации на выходе из (i–1)-й секции; с_J,i – концентрация компонента J на выходе из i-й секций.

Расчет каскада реакторов идеального смешения обычно сводится к определению числа секций заданного объема, необходимых для достижения определенной глубины превращения, или к определению состава реакционной смеси на выходе из i-й секции каскада.

Допущения об отсутствии обратного влияния в каскаде реакторов идеального смешения существенно упрощают расчет. Он сводится к последовательному решению уравнений материального баланса для каждой секции относительно концентрации реагента (или продукта) на выходе. Выходной параметр для первой секции (концентрация с_J,i), полученный из первого уравнения, является входным параметром для второй секции, выходной параметр второй секции – входным для третьей и т. д.

Различают аналитический метод и численные методы расчета каскада. Применение аналитического метода возможно в том случае, если уравнения материального баланса могут быть аналитически решены относительно концентрации с_J. Это можно сделать, например, если протекающие реакции описываются кинетическими уравнениями первого или второго порядка. Рассмотрим определение концентрации реагента А на выходе из каскада реакторов, включающего в себя N секций равного объема (V₁ = V₂ = ... = V_i...= V_N) при проведении реакции первого порядка, скорость которой описывается уравнением w_rA = kс_А. Из уравнения материального баланса для первой секции

определяем

Полученное значение с_А,1 подставляем в качестве входной концентрации в уравнение материального баланса для второй секции:

из него определяем

При равенстве объемoв секций ₁ = ₂ = ... = _i = ... =

Продолжая аналогичные расчеты, для N–Pi (последней) секции каскада, получим

(5.19)

Если учесть, что , уравнение (5.19) можно записать в виде

и тогда можно рассчитать число секций заданного объема, необходимых для достижения степени превращения х_А:

Если полученное при расчете по уравнению (5.20) N является дробным числом, его округляют в большую сторону для того, чтобы было выполнено условие с_А,N < c_A,f.

Уравнение (5.20) справедливо, естественно, только для реакции первого порядка.

Для реакций, описываемых кинетическими уравнениями, не позволяющими аналитически решить уравнение (5.18) относительно с (например, реакции дробного порядка), при расчете каскада приходится прибегать к численным методам. Так как уравнения материального баланса для всех реакций однотипны, можно составить алгоритм решения этих уравнений для i-й секции и последовательно применить его N paз.

Наглядным является графический способ расчета каскада реакторов, использующий описанный выше графический метод определения концентрации реагентов на выходе из реактора идеального смешения. Принцип расчета остается прежним. Сначала, графически решая уравнение для первой секции

находят концентрацию с_А,1 (рис. 5.12), построив кинетическую кривую w_rA(c_A) и прямую с тангенсом угла наклона (–1/ _i), пересекающую ось абсцисс в точке с_А,0. Определив с_А,1, решают уравнение для второй секции:

Для расчета концентрации на выходе из N-го реактора графическое решение повторяют N раз.

Если требуется рассчитать число секций N, необходимое для достижения заданной степени превращения х_А, графическое построение продолжают до тех пор, пока абсцисса точки пересечения прямой

и кривой w_r,R(c_A) не будет удовлетворять условию с_А,1 ≤ с_А,0(1 – х_А).

Рис. 5.12. Зависимости скорости реакции от концентрации для расчета каскада реакторов идеального смешения, состоящего из секций одинакового объема

Пример 5.4. Реакцию, описанную в примерах 5.1 и 5.2 (реакция второго порядка 2А R + S, кинетическое уравнение w_r,A = 2,5с , конечная степень превращения х_А,f = 0,8, с_А,0 = 4 кмоль∙м^–3), проводят в каскаде реакторов идеального смешения. Все секции каскада имеют одинаковый объем, подобранный таким образом, что среднее время пребывания в каждой из них _i равно 1/10 среднего времени пребывания в единичном реакторе идеального смешения, рассчитанного в примере 5.1 ( _i = 0,2 ч). Определить, сколько таких секций потребуется для достижения заданной степени превращения.

Решение. Для решения используем графический метод. Для этого построим графики функции w_rA = 2,5с (парабола) и

(прямая с тангенсом угла наклона tgα = –(1/τ) = –5,0).

Точка пересечения этих линий M₁ (см. рис. 5.13), позволяет определить концентрацию на выходе из первой секции каскада. Проводя параллельные прямые

до тех пор, пока не будет выполнено условие с_А,i < 0,8 кмоль·м^–3 (так как c_A,f = с_а,0 (1 – x_A,f) = 4(1 – 0,8) = 0,8 кмоль∙м^–3), получаем, что для достижения указанной степени превращения необходимо четыре секции. Оказывается, что на выходе из четвертой секции степень превращения даже выше, чем задана по условию, но в трех секциях степень превращения не достигается.

Рис. 5.13. Зависимости скорости реакции от концентрации для расчета числа секций каскада реакторов идеального смешения

Таким образом, суммарное среднее время пребывания реагентов в каскаде реакторов идеального смешения для условий примера 5.3 составляет τ_Σкаск = 4 _i = 0,8 ч, т. е. оно больше, чем в случае реактора идеального вытеснения (τ_В = 0,4 ч; см. пример 5.2), и меньше, чем в единичном реакторе идеального смешения ( _B = 2 ч; см. пример 5.1).