4 Что аффинные преобразования сохраняют?

Из определения аффинных преобразований видно, что они сохраняют прямые и свойство различия двух точек:

— прямая, — прямая.

Эти два свойства можно показать так:

Эти два свойства есть определяющие свойства аффинных преобразований. Непосредственно из этих свойств, как уже показано ранее, следуют следующие два важных дополнительных свойства

3. Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование.

4. Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.

Эти свойства можно обозначить так:

Следующие свойства относятся к классу «законов сохранения», то есть они говорят, какие свойства фигур аффинные преобразования сохраняют (не изменяют).

Примечание: Преобразование инверсии сохраняет свойство окружности и углы между кривыми. Другой тип преобразований — движения, сохраняют расстояния. Движения, аффинные преобразования и инверсию можно в первом приближении определить так:

Движения сохраняют расстояние.

Аффинные преобразования сохраняют «прямоту» линий.

Инверсии сохраняют свойство «круглоты».

Задача 11[9]

Докажите, что при аффинном преобразовании

5. Пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся,

6. Параллельные переходят в параллельные.

Эти свойства можно обозначить так:

Решение

Действительно, прямые переходят в прямые. Предположим, что две прямые пересекаются. Значит, у них есть общая точка . Если после аффинного преобразования они стали параллельными, значит у них не стало общей точки. Получается, что образ точки (точка в которую она перешла при преобразовании) должен лежать как на первой, так и на второй прямой. Но этого быть не может, так как точка имеет только один образ. Точка не может перейти в две разные точки. Значит, пересекающиеся прямые не могли перейти в параллельные. То, что параллельные не могут перейти в пересекающиеся, докажите самостоятельно.

Задача 12[9]

На основе предыдущих свойств, докажите следующие два свойства:

7. Параллелограмм переходит в параллелограмм,

8. Трапеция переходит в трапецию:

Рис. 7. Отношение площадей сохраняется.

Следующее важное свойство касается площади. Посмотрите на рисунок 7. Там нарисована прямоугольная сетка и две фигуры. Площади этих фигур примерно равны (пропорциональна) количеству квадратиков. А отношение площадей двух фигур примерно равно отношению квадратиков внутри этих фигур.

При аффинном преобразовании квадратики переходят в одинаковые параллелограммы, прямоугольная сетка переходит в скособоченную сетку. Но важно, что отношение площадей примерно равно отношению числа этих параллелограммчиков, то есть тому же, чему было равно это отношение до аффинного преобразования. Если нарисовать сетку очень-очень мелкой, точнее сколь угодно мелкой, тогда площадь будет точно выражаться через число квадратиков и параллелограммчиков и наши рассуждения станут строгими.

Таким образом, мы доказали еще одно свойство:

Пусть и — образы фигур и при некотором аффинном преобразовании, тогда отношения их площадей одинаковы, то есть

Это свойство можно записать так:

Рис 8. Отношение длин отрезков на прямой сохраняется.

Задача 13[9]

Докажите, что отношение длин отрезков на одной и то же прямой при аффинном преобразовании сохраняется.

Подсказка. На рисунке 8(а) показано два равных отрезка и на прямой . Докажем, что после любого аффинного преобразования образы этих отрезков будут иметь равную длину. Для этого сделаем дополнительные построения: параллельно прямой построим еще один отрезок , равный и . Заметим, что и параллелограммы, так как две их противоположные стороны равны и параллельны. После любого аффинного преобразования они останутся параллелограммами, а значит, для образов будут верны равенства и .

Итак, мы показали, что два равных отрезка на одной прямой после преобразования останутся равными. Теперь предположим, что их длины не равны. Например, первый, , имеет длину , а второй . Но тогда первый мы сможем разделить на единичных отрезков, а второй на единичных отрезков. Все отрезков, как мы только что показали, будут равны друг другу до и после аффинного преобразования. Значит, отношение длин образов отрезков и будет прежним, то есть к .

Заметьте, что любое действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным числом. Это свойство математики обозначают так: «множество рациональных чисел всюду плотно». В сколь угодно маленькой окрестности любого числа найдется рациональное число.

Задача 14[9]

Докажите, что отношение длин отрезков на параллельных прямых при аффинном преобразовании сохраняется:

Подсказка: используйте подсказку к предыдущей задаче.

При строгом доказательстве свойств и используется предельный переход и свойство непрерывности аффинных преобразований. Про непрерывность и предельные переходы рассказывают на первом курсе института. Здесь использовали предельный переход на интуитивном уровне.

Задача 15[9]

Докажите, что при аффинном преобразовании выпуклой фигуры получается выпуклая фигура. Фигура называется выпуклой, если любыми двумя точками она содержит и отрезок, их соединяющий. Другими словами, аффинные преобразования сохраняют свойство выпуклости.