3. Решение нелинейных уравнений. Методы деления отрезка пополам, хорд, касательных, простой итерации.

Пусть требуется решить уравнение F(x) = 0, прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения, но большинство уравнений не могут быть решены прямым методом. Для их решения используют итерацион. Методы. Алгоритм нахождения корня ур-я с помощью итер. метода состоит из двух этапов:

1. Отыскание приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

2. Уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

П риближенное значение корня может быть найдено различным способами: из физических соображений, из решения аналогичной задачи, с помощью графических методов. Если такие априорные оценки исходного приближения найти не удаётся, то находят 2 близко приближенные точки a и b, в которых непрерывная функция F(x) принимает значения разных знаков. . В этом случае м/ж точками a и b есть по крайней мере одна точка, в которой F(x)=0. В качестве нач. прибл-я можно взять середину отрезка [a;b], т.е

Метод деления отрезка пополам

После n-й итерации отрезок сокращается в раз. Итер. процесс продолжается до тех пор, пока значении ф-и F(x) после n-й итерации не станет меньше по модулю заданного числа Ԑ:

М етод хорд

Пусть на отрезке существует корень, т.е

Через точки и проводим прямую, каноническое уравнение которой имеет вид:

Находим точку пересечения с осью абсцисс, т.е (у=0)

Сравниваем знаки F(a), F(b), F(c₀), выбираем интервал, знаки на концах которых разные [c₀;b], затем проводится след. итерация

и т.д. Итер. процесс продолжается до тех пор, пока или

М етод касательных

Его отличие от предыдущего состоит в том, что проводится касательная к графику ф-и F(x). Тогда С₀ – некое начальное приближение. Строят уравнение касательной , откуда находим след. приближение корни С₁, как абсциссу точки пересечения касательной с осью Х.

(y=0) . Аналогично нах-ся след. приближение . Для окончания итер. процесса м.б. использовано условие

Простая итерация

Если удалось уравнение F(x)=0 переписать в виде x=f(x), то выбрав начальное приближение С₀ можно построить итерационный процесс С_n+1 = f(C_n). Достаточным условием сходимости этого метода явл. условие

4. Решение нелинейных систем. Методы простой итерации и Ньютона

П усть дана система нелинейных уравнений:

В отличии от системы линейных ур-й, не существуют прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Для решения систем нелин. ур-й используются итерац. методы:

1. М етод простой итерации:

Е сли систему (1) удается переписать в виде (2) , то алгоритм решения этой системы методом простой итерации напоминает метод Гаусса-Зейделя для линейных систем. Пусть в результате пред. итерации получены значения неизвестных , тогда выражения для неизвестных на след. итерации имеет вид (3)

Критерий остановки на (k+1) итерации:

2. Метод Ньютона

Пусть некое приближение неизв. системы (1) .

Задача ставится так: на каждой итерации улучшить решение в виде (4):

Отыскав поправки , для этого разложим левые части ур-й

(4) (1) как ф-и нескольких переменных в ряд Тейлора в окрестности точки

, ограничиваясь лишь первыми линейными членами относительно приращений:

Поскольку левые части системы уравнений (1) равны 0, то и правые части части системы (5) должны быть равны 0. Пусть А = , получим:

Это и есть система уже линейных уравнений относительно неизвестных . Для существования единственного решения этой системы необходимо, чтобы якобиан был отличен от 0 для каждой итерации