Кратные корни алгебраического многочлена.

Среди корней a₁,a₂,…,a_n многочлена P_n(z) могут оказаться равные.

Пусть a,b,…,l различные корни P_n(z). Тогда для P_n(z) разложение (9) имеет вид:

P_n(z)=с₀(z-a)^(z-b)^…(z-l)^ (1)

где ,,..,N; 1, 1,…,1; ++…+=n

Если для многочлена P_n(z) справедливо разложение (1), то число а является корнем P_n(z) кратности , число b является корнем P_n(z) кратности ,…, число l является корнем P_n(z) кратности .

Корень, кратность которого равна единице, называют простым корнем.

Равносильное определение кратности корня.

Число а называется корнем кратности  многочлена P_n(z), если для P_n(z) справедливо представление в виде:

P_n(z)=(z-a)^φ(z) (2)

где φ(а)0.

Теорема (признак кратности корня) (б.д.). Для того, чтобы число а было корнем кратности  многочлена P_n(z), необходимо и достаточно, чтобы

P_n(а)=0, =0,…, =0, но 0.

Свойства многочленов с вещественными коэффициентами.

Рассмотрим алгебраический многочлен с вещественными коэффициентами:

P_n(х)=а₀хⁿ+а₁х^n-1+…+а_n-1х+а_n (1)

где а₀,а₁,…,а_n-1,а_n – постоянные вещественные числа (а₀≠0).

Теорема (о комплексных корнях алгебраического многочлена с действительными коэффициентами). Если комплексное число а=+i (0) является корнем P_n(х) кратности k, то сопряженное число =-i тоже является корнем P_n(х), причем той же кратности k.

Следствие. Совокупность комплексных корней многочлена с вещественными коэффициентами распадается на пары взаимно сопряженных корней одной и той же кратности.

На комплексной плоскости корни многочлена с вещественными коэффициентами располагаются симметрично относительно вещественной оси. На самой вещественной оси располагаются вещественные корни. (Рисунок).

Пусть P_n(х) – алгебраический многочлен степени n>1 с вещественными коэффициентами.

Пусть a,b,…,с – вещественные корни многочлена P_n(х) кратностей ,,…, соответственно, а l и ,…,m и - сопряженных комплексных корней кратностей ,…, соответственно. Тогда для P_n(х) справедливо разложение:

P_n(х)=а₀(х-a)^(х-b)^…(х-с)^(х-l)^(х- )^…(х-m)^(х- )^ (2)

(Здесь ++…++2+…+2=n)

(х-l)^(х- )^=(x²+px+q)^

…..

(х-m)^(х- )^=(x²+rx+s)^

где(x²+px+q),…,(x²+rx+s) – квадратные трехчлены с вещественными коэффициентами. Поэтому разложение (4) для P_n(х) примет вид:

P_n(х)=а₀(х-a)^(х-b)^…(х-с)^(x²+px+q)^…(x²+rx+s)^ (5)

где все коэффициенты вещественны.

Замечание. Может случиться, что в разложении (5) линейные или квадратные сомножители отсутствуют. Это соответствует случаям, когда отсутствуют вещественные или, соответственно, комплексные корни у P_n(х).

Разложение правильных рациональных дробей с действительными коэффициентами на сумму простейших дробей.

Определение. Дробно-рациональной функцией, или рациональной дробью, называется функция вида:

(1)

где n,mN, a₀,a₁,…,a_n,b₀,b₁,…,b_m – постоянные числа. Если n<m, то рациональная дробь (1) называется правильной. Если nm, то неправильной.

Простейшими рациональными дробями называются дроби следующих типов:

I. ; II. , (kN, k≥2); III. ; IV.

где a, p, q, А, M, N – постоянные вещественные числа. Имеем

Теорема 1. Пусть имеется правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами . Пусть число аR является корнем кратности k знаменателя Q(x), т.е. Q(x)=(x-a)^kφ(x), где φ(а)0.

Тогда для дроби справедливо следующее представление:

= + (2)

где А₁R, Р₁(х) – многочлен с действительными коэффициентами, причем дробь - правильная.

Доказательство. Рассмотрим разность R= - или R= .

Р(х)-А₁φ(х) – алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.

Для доказательства достаточно подобрать число А₁ таким образом, чтобы многочлен Р(х)-А₁φ(х) делился без остатка на разность (х-а). Это будет лишь тогда, когда число а является корнем многочлена Р(х)-А₁φ(х), т.е. когда Р(а)-А₁φ(а)=0.

Или когда А₁= . Т.к. φ(а)0, то такое число А₁ обязательно существует.

Т.о., если в качестве числа А₁ брать число , то будем иметь

Р(х)-А₁φ(х)=(х-а)Р₁(х), где Р₁(х) – алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.

Тогда R= - = = т.е.

= + ч.т.д.

Замечание. Если k>1, то к правильной рациональной дроби так же можно применить теорему 1. В результате получим:

= +

где А₂R, - правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами. Продолжая этот процесс, после k-кратного применения теоремы 1, будем иметь:

= + + +…+ + ,

где А₁,А₂,А₃,…,А_kR (постоянные), а - правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами.

Теорема 2. Пусть имеется правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами . Пусть комплексное число a=+i является корнем кратности k знаменателя Q(x) (значит, и число =-i также является корнем кратности k знаменателя Q(x)) и, следовательно,

Q(x)=(x-a)^k(x- )^kφ(x)=(x²+px+q)^kφ(x)

где φ(i)0. Тогда для дроби (= ) справедливо следующее представление:

= + (3)

где M₁,N₁R, Р₁(х) – многочлен с действительными коэффициентами, причем дробь - правильная.

Доказательство. Рассмотрим разность R= - или R= .

Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х) – алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.

Для доказательства достаточно подобрать числа M₁ и N₁ таким образом, чтобы многочлен Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х) делился без остатка на (х²+рх+q). Это будет лишь тогда, когда число а=+i (значит и число =-i) является корнем многочлена Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х), т.е. когда

Р(+i)-(M₁(+i)+N₁)φ(+i)=0 (4)

Т.к. φ(+i)0, то из (4) находим

M₁(+i)+N₁= (M₁+N₁)+iM₁= 

  

При таком выборе чисел M₁ и N₁ многочлен Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х) делился без остатка на (х-а)(х- )=(х²+рх+q).

Следовательно, будем иметь

Р(х)-(M₁x+N₁)φ(х)=(х²+рх+q)Р₁(х), где Р₁(х) – алгебраический многочлен с действительными коэффициентами.

Тогда R= - = = т.е.

= + ч.т.д.

Замечание. Если k>1, то к правильной рациональной дроби так же можно применить теорему 2. В результате получим:

= +

где M₂,N₂R, - правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами. Продолжая этот процесс, после k-кратного применения теоремы 2, будем иметь:

= + +…+ + ,

где M₁,N₁,M₂,N₂,…,M_k,N_kR (постоянные), а - правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами.

Следствие из теорем 1 и 2. Пусть - правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами. Пусть

Q(x)= ,

a₁,a₂,…,a_r,p₁,q₁,…,p_r,q_r R, , ₁,₂,…,_r,₁,₂,…,_sN. Тогда справедливо представление:

= + +…+ + + +…+ +…+

+ + +…+ + + +…+ +

+…+ + +…+ (5)

Замечание. Для представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей, выполняют следующие действия:

1) Пишут общий вид представления (5) с буквенными коэффициентами (пока неизвестными).

2) В написанном представлении (5) все дроби приводят к общему знаменателю, которым оказывается Q(x).

3) Т.к. знаменатели получились равными, приравнивают числители правой и левой части равенства (5). Получаем равенство двух многочленов, один из которых имеет конкретные коэффициенты, а другой – неизвестные. Приравнивают коэффициенты при равных степенях х. Получают систему уравнений, из которой находят неизвестные коэффициенты.

Пример.

1) Общий вид разложения: = + +

2) Приводим к общему знаменателю:

=

3) Приравниваем коэффициенты при равных степенях:

Получим А=3, В=2, M=0, N=1

Следовательно, = + +