Свойства открытых множеств.

1) множества Rⁿ и  - открытые.

2) Объединение любой системы открытых множеств – открыто (показать).

3) Пересечение конечной системы открытых множеств – открыто (показать).

Точка М₀Е называется точкой сгущения множества ЕRⁿ, если в каждой ее окрестности содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от М₀.

Определение. Множество FRⁿ называется замкнутым, если его дополнение в Rⁿ открыто (т.е. если Rⁿ\F – открыто).

Точки сгущения открытого множества, не принадлежащие ему, называются пограничными точками этого множества. Пограничные точки образуют границу множества.

Открытое множество со своей границей называется замкнутым.

Свойства замкнутых множеств.

1) множества Rⁿ и  - замкнутые (т.к. их дополнения  и Rⁿ – открытые).

2) Пересечение любой системы замкнутых множеств – замкнуто (показать).

3) Объединение конечной системы замкнутых множеств – замкнуто (показать).

Классификация точек относительно множества.

Определение. Точка М(x₁,…,x_n) называется предельной точкой множества ЕRⁿ, если в любой окрестности этой точки содержится бесконечно много точек из множества Е.

Множество Е в объединении со множеством своих предельных точек называется замыканием множества Е - .

Например, замыкание интервала – отрезок: =[,].

Если точка М не является предельной для множества Е, то возможно:

1) МЕ, то существует шар с центром в точке М, который не содержит ни одной точки из Е.

2) МЕ, то существует шар с центром в точке М, который содержит только одну точку Е – точку М.

Теорема. Для того, чтобы множество было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно содержало все свои предельные точки.

Определение. Точка М называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность этой точки, входящая в множество Е:  В(М,R)Е (только если МЕ)

Совокупность всех внутренних точек Е называется внутренностью М.

Точка М называется внешней точкой множества Е, если В(М,R)Е= (МЕ)

Последовательность в Rn.

Пусть {X_k( ,…, }, kN – некоторая последовательность из Rⁿ.

А(a₁,…,a_n)Rⁿ – фиксированная точка.

Определение. Последовательность {X_k} сходится к точке А при k, если

d(X^(k),A)0 при k, (3)

=А, X^(k)А, k,

Или последовательность {X_k} сходится к точке А при k, если

 окрестности В(А,R) N: nN  X⁽ⁿ⁾В(A,R).

Пример. X^(k)=( ,0,..,0,1)А(0,…,0,1) при k.

d(X^(k),A)= 0, при k.

Свойства сходящихся последовательностей.

1) Сходящаяся последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Допустим, что последовательность {X_k} имеет два предела:

X^(k)А, k и X^(k)В, k,

Тогда по неравенству треугольника: d(A,B)d(A, X^(k))+d(X^(k),B)

d(X^(k),A)0, k, d(X^(k),B)0, k.

Т.е. d(A,B)0 d(A,B)=0А=В. Ч.т.д.

2) Если последовательность точек пространства Rⁿ сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть X^(k)А, k, т.е. d(X^(k),A)0, k. Тогда последовательность {d(X^(k),A)} ограничена в силу свойств числовых последовательностей (одномерных), т.е. С: k  d(X^(k),A)C, т.е. X^(k)В(А,С), т.е. X^(k) – ограничена. Ч.т.д.

Связь сходимости последовательностей точек из Rⁿ со сходимостью последовательностей их координат.

Пусть последовательность {x^(k)}Rⁿ, тогда x^(k)=( ,…, ), т.е.

x⁽¹⁾=( ,…, ), x⁽²⁾=( ,…, ),…

Теорема. Для того, чтобы последовательность точек из Rⁿ сходилась к точке А(a₁,…,a_n), необходимо и достаточно, чтобы сходились все числовые последовательности, составленные из координат этих точек, т.е.

a₁, k,…, a_n, k (4)

Доказательство. Необходимость. Пусть x^(k)А, k d(x^(k),A)0, k

 0, k (5)

Имеем: 0 -а₁ ,

0 -а₂ ,…,

0 -a_n ,

С учетом (5), получаем, что a₁, k,…, a_n, k.

Достаточность. Пусть a₁, k,…, a_n, k. Тогда

( -a₁)0, k,…,( -a_n)0, k  ( -a₁)²0, k,…,( -a_n)²0, k

(( -a₁)²+…+( -a_n)²)0, k d(x^(k),A)0, k x^(k)А, k. ч.т.д.

Определение. Последовательность {x^(k)}Rⁿ называется фундаментальной, если d(x^(k),x^(m))0, k,m (6)

Теорема. Для того, чтобы последовательность {x^(k)} из Rⁿ сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. (Показать, что {x^(k)} фундаментальная  когда фундаментальны последовательности ее координат.)

Теорема.. Из всякой ограниченной последовательности точек {x^(k)} из Rⁿ можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последовательность {x^(k)} ограничена, тогда

C>0: k=1,2,… и i=1,2,..,n   Cограничены последовательности всех координат.

Докажем для случая n=2. Т.е. для последовательности {x^(k)(x_k,y_k)}.

Тогда последовательности {x_k}_kN и {у_k}_kN – ограничены.

Рассмотрим последовательность {x_k}_kN – она числовая и ограниченная. Следовательно (по принципу Больцано-Вейерштрасса) из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть это будет подпоследовательность и пусть (а – конечное число).

Из последовательности {у_k}_kN выделим подпоследовательность так, чтобы индексы этой подпоследовательности совпадали с индексами подпоследовательности .

Подпоследовательность - числовая, ограниченная. Поэтому из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть это будет подпоследовательность . Пусть (b – конечное число).

Теперь из выделим подпоследовательность так, чтобы ее индексы совпадали с индексами . Тогда (т.к. любая подпоследовательность, выделенная из сходящейся последовательности, сходится к тому же пределу).

Т.о. = - искомая последовательность, которая сходится к точке А(a,b). Ч.т.д.

Определение. Множество МRⁿ называется компактным, если из любой последовательности точек из М можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой лежит в М.

Примеры. Отрезок – компактное множество, а интервал и полуинтервалы – нет (последовательность может сходится к концу интервала, который ему не принадлежит).

Теорема. Для того, чтобы множество МRⁿ было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

Понятие функции нескольких переменных.

Пусть имеется множество Е пар чисел (х,у). Геометрически Е представляет собой некоторое множество точек плоскости Оху.

Если каждой точке (х,у)Е по какому-либо правилу сопоставить определенное значение переменной z, то говорят, что на множестве Е задана функция z=f(x,y).

Переменные х и у называют независимыми переменными или аргументами, а множество Е – областью определения функции.

Геометрически функция z=f(x,y) иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим прямоугольную систему координат Охуz и предположим, для простоты, что область задания Е функции представляет собой часть плоскости Оху. Возьмем на Е какую-нибудь точку М(х,у) и вычислим соответствующее значение z. Это значение z отложим на перпендикуляре к плоскости Оху, проходящем через точку М(х,у). В результате получим в пространстве точку Р(х,у,z). Когда точка М(х,у) будет перемещаться в области задания Е, соответствующая точка Р(х,у,z) опишет, как правило, некоторую поверхность. Эта поверхность служит геометрическим изображением данной функции z=f(x,y). Т.о. графиком функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек трехмерного пространства (х,у,z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у соотношением z=f(x,y).

График функции z=f(х₁,х₂,…,х_n) имеет геометрическую интерпретацию только при n≤2. n=1 - линия на плоскости Оху, n=2 – поверхность в пространстве R³.

Определение. Функцией n переменных называется закон, правило, по которому каждому набору из n переменных (х₁,х₂,…,х_n) из некоторого множества Х ставится в соответствие единственное значение переменной u.

u=f(х₁,х₂,…,х_n)

Переменные х₁,х₂,…,х_n – называются независимыми или аргументами, переменная u – зависимой. Если точку (х₁,х₂,…,х_n) обозначить через М, то функцию u=f(х₁,х₂,…,х_n) называют функцией точки М и обозначают u=f(М).

Областью определения функции z называется множество значений переменных х₁,х₂,…,х_n при которых функция имеет смысл. (множество Х Rⁿ).

Геометрическая интерпретация ООФ возможна только при n≤3.

n=1 функция одной переменной, ООФ – некоторый промежуток прямой Ох.

n=2 функция двух переменных, ООФ – часть (или вся) плоскости Оху.

n=3 функция трех переменных, ООФ – часть или все пространство R³.

Пример. Найти ООФ z= .

1-х²-у²≥0, х²+у²≤1

Все точки М(х,у), удовлетворяющие этому неравенству, лежат в круге радиуса 3 с центром в (0;0) и на границе этого круга (рисунок).

Предел функции нескольких переменных.

Пусть функция u=f(М) определена на множестве ЕRⁿ. Пусть точка М₀ – предельная точка множества Е.

Определение 1. Функция u=f(х₁,х₂,…,х_n) имеет пределом число А при стремлении переменных х₁,х₂,…,х_n, соответственно, к а₁,а₂,…,а_n, если

>0 >0: x₁-a₁<,….,x_n-a_n<f(х₁,х₂,…,х_n)-A<

При этом точка М(х₁,…,х_n) предполагается взятой из Е и отлична от М₀(а₁,…,а_n).

Т.о. неравенство должно выполняться во всех точках множества Е, лежащих в достаточно малой окрестности точки М₀: (а₁-,а₁+;…;а_n-,а_n+), но исключая саму точку М₀ (если М₀Е).

А= или А=

Например, при n=2. Число А называется пределом функции z=f(x,y) при х→х₀, у→у₀ (в точке (х₀,у₀)), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется положительное число δ>0, зависящее от ε, δ=δ(ε)), такое, что для всех точек (х,у), отстоящих от точки (х₀,у₀) на расстояние 0<ρ<δ, выполняется неравенство

f(x,y)=А

(

Определение 2. Число А называется пределом функции f(М) при ММ₀, если

>0 >0 такое, что как только МЕ, ММ₀ и d(M,M₀)<f(M)-M₀<

Определение 3. Функция u=f(х₁,х₂,…,х_n) имеет пределом число А при стремлении переменных х₁,х₂,…,х_n, соответственно, к а₁,а₂,…,а_n, если для любой последовательности точек {M_k}_kN такой, что

kN, M_kE, M_kM₀ и M_kM₀ при k соответствующая последовательность значений функции f(M₁),…,f(M_k),… всегда имеет одно и то же число A.

Пример.

1. =5 (т.к. функция определена на всей плоскости).

2. = = = =0

сделаем замену t= , t→0 при x→0, y→0

Замечание. Для функции f(х₁,х₂,…,х_n) нескольких переменных, как и для функции одной переменной, можно ввести понятие бесконечного предела, а также понятие предела , когда точка неограниченно удаляется от начала координа, т.е. когда +.

Бесконечно малые и бесконечно большие вводятся так же, как и в случае функции одной переменной.

Определение. Функция f(М) называется бесконечно малой при ММ₀, если

=0.

Функция f(М) называется бесконечно большой при ММ₀, если

=, +, -.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, установленные для случая функций одной переменой, распространяются на случай функции нескольких переменных. Сохраняются так же понятия порядка, эквивалентности бесконечно малых и бесконечно больших и свойства, связанные с этими понятиями.

Сохраняются и свойства конечных пределов.

1. Число А является пределом функции f(М) при ММ₀ тогда и только тогда, когда разность f(М)-М₀ есть бесконечно малая при ММ₀.

Или число А является пределом функции f(М) при ММ₀ тогда и только тогда, когда f(М)=А+(х₁,х₂,…,х_n), где (х₁,х₂,…,х_n) – б.м. при ММ₀.

2. если существует конечный предел , то при любом постоянной С существует конечный предел , причем

=С

3. Если существуют конечные пределы и , то существует и конечный предел , причем

= 

Это свойство распространяется на любое фиксированное число слагаемых.

4. Если существуют конечные пределы и , то существует и конечный предел , причем

= 

Это свойство распространяется на любое фиксированное число сомножителей.

5. Если существуют конечные пределы и , причем 0, то существует конечный предел , причем

=

6. Если в некоторой окрестности точки М₀ р(М)f(M)g(M) и если = =А, то и =А.

Повторные пределы.

Кроме рассмотренного предела функции f(х₁,х₂,…,х_n) при одновременном стремлении всех аргументов к их пределам, рассматриваются пределы, получаемые в результате ряда последовательных предельных переходов по каждому аргументу в отдельности в том или ином порядке. Первый предел называется n-кратным (двойным, тройным и т.д. при n=2,3,..), а последний – повторным.

Рассмотрим функцию двух переменных f(х,у).

Допустим, что область изменения переменных х и у такова, что х (независимо от у) может принимать любое значение в некотором множестве Х, для которого а служит точкой сгущения, но ему не принадлежит, и аналогично у (независимо от х) изменяется в множестве У с не принадлежащей ему точкой сгущения b. Такую область можно символически обозначить как ХУ.

Пусть, например, она задана в прямоугольнике (Р)= . Пусть при каждом фиксированном х из (a,c] существует конечный предел . Предел будет представлять собой функцию от х, определенную в промежутке (a,c] , т.е.

=(х), х(a,c].

Пусть существует конечный предел m= . Число m называют повторным пределом функции f(х,у) в точке А(а,b):

m=

Пусть при каждом фиксированном y из (b,d] существует конечный предел . Предел будет представлять собой функцию от y, определенную в промежутке (b,d] , т.е.

=(y), y(b,d].

Пусть существует конечный предел n= . Число n будет другим повторным пределом функции f(х,у) в точке А(а,b):

n=

Пример. Для функции f(x,y)= в точке О(0,0) найти повторные пределы и доказать, что у этой функции в точке О(0,0) нет двукратного предела.

1) При фиксированном х0 имеем:

= =1, т.е. 1, х(-;0)(0;+). Тогда

= =1, т.е. m=1.

2) При фиксированном у0 имеем:

= =-1, т.е. -1, у(-;0)(0;+). Тогда

= =-1, т.е. n=-1.

Т.о., в точке (0,0) существуют оба повторных предела и mn.

3) Покажем, что в точке (0,0) не существует предела в обычном смысле.

Возьмем последовательность точек . kN точки M_k принадлежат области существования функции, (0,0), и M_k О(0,0) при k.

Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f(M₁)=0, f(M₂)=0,…,f(M_k)=0,… . Следовательно, f(M_k)0, при k.

Возьмем последовательность точек kN точки принадлежат области существования функции, (0,0), и О(0,0) при k.

Соответствующая последовательность значений функции будет такой: f( )= , f( )= ,…,f( )= ,… . Следовательно, f( ) , при k.

Следовательно, предела в обычном смысле нет.

Условия совпадения повторных и двойных пределов.

Теорема. Если 1) существует (конечный или нет) двойной предел А=

и 2) при любом у из У существует (конечный) простой предел по х

(y)=

То существует повторный предел n= =

И равен двойному.

Доказательство. Докажем для конечных А,а,b.

Согласно определению предела, по заданному >0 найдется такое >0, что

f(x,y)-A<, (*)

лишь только x-a< и y-b< (причем х берется из Х, а у из У).

Фиксируем теперь у так, чтобы выполнялось неравенство y-b< и перейдем в (*) к пределу при ха.

Т.к. в виду 2), f(x,y) при этом стремится к пределу (y), то получим

(y)-А

Т.к. у – любое число из У, удовлетворяющее условию y-b<, приходим к выводу

А= = . Ч.т.д.

Если, наряду с условиями 1) и 2), при любом х из Х существует (конечный) простой предел по у: =(х),

то, как следует из доказанного, если х и у поменять ролями, - существует также и второй повторный предел:

m= =

и равен тому же числу А: в этом случае оба повторных предела равны.

Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть функция u=f(M) определена на множестве ERⁿ. Пусть А – предельная точка множества Е и АЕ. Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если =f(A) (1)

Определение 2. (на языке последовательностей). Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если для любой последовательностей точек {M_k}_kN такой, что M_kЕ и M_kA при k оказывается, что соответствующая последовательность значений функции {f(M_k)}_kN имеет своим пределом f(A).

Определение 3. (на языке  и ). Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если >0 >0 такое, что при ME и (M,A)< (расписать покоординатно, т.е. х₁- <,…, х_n- <) f(M)-f(A)<.

Соотношение (1) равносильно следующему:

=0 (1)

Здесь М(x₁,…,x_n), A( ,…, ).

Если ввести обозначения x₁=x₁- ,…,x_n=x_n- , u=f(x₁,…,x_n)-f( ,…, ), то (1) пример вид:

=0 (2)

x₁,…,x_n- приращения независимых переменных, u – приращение функции.

Т.о. функция u=f(x₁,…,x_n) непрерывна в точке ( ,…, ) тогда и только тогда, когда приращение функции u0, как только стремятся к нулю приращения независимых переменных.

Если положить = , то равенство (2) примет вид: =0.

Величина  представляет собой расстояние между точкой ( ,…, ) и точкой ( +x₁,…, +x_n).

Если функция u=f(M) непрерывна в каждой точке множества Е, то ее называют непрерывной на множестве Е.

Введенное понятие непрерывности функции u=f(M) в точке А называют непрерывностью этой функции в точке А по совокупности переменных.

Вводится также понятие непрерывности функции u=f(M) в точке А по каждой переменной в отдельности.

Например при n=2. Пусть функция u=f(x,y) определена в некотором прямоугольнике Р, содержащем точку A(a,b). Рассмотрим отрезок прямой х=а, содержащий точку А(а,b) и содержащийся в Р. Рассмотрим функцию u=f(х,y) в точках этого отрезка. Получим функцию u=f(а,y) одной переменной у. Если f(а,y) непрерывна в точке у=b, т.е. если =f(a,b), то функция f(x,y) непрерывна в точке A(a,b) по переменной у.

Рассмотрим теперь отрезок прямой у=b, содержащий точку А(а,b) и содержащийся в Р. Рассмотрим функцию u=f(х,y) в точках этого отрезка. Получим функцию u=f(x,b) одной переменной x. Если f(x,b) непрерывна в точке x=a, т.е. если =f(a,b), то функция f(x,y) непрерывна в точке A(a,b) по переменной x.

Непрерывность функции u=f(x,y) в точке A(a,b) по совокупности переменных означает, что значение f(x,y) стремится к значению f(a,b), когда точка (х,у) стремится к точке (a,b) с любой стороны и, в частности, вдоль параллели оси Оу или Оси Ох. Следовательно, будут справедливы равенства =f(a,b) и =f(a,b).

Т.о., функция f(x,y), непрерывная в точке A(a,b) по совокупности переменных, будет непрерывна в этой точке и по каждой переменой в отдельности.

Но из непрерывности по каждой переменной в отдельности не следует непрерывность по совокупности переменных.

Свойства непрерывных функций нескольких переменных.

1. Алгебраическая сумма, произведение, частное непрерывных функций - непрерывна.

2. Непрерывность сложной функции.

Пусть кроме функции u=f(x₁,…,x_n), заданной в множестве Е n-мерных точек M(x₁,…,x_n), нам даны еще n функций

x₁=₁(t₁,..,t_m),…,x_n=_n(t₁,..,t_m) (2)

в некотором множестве F m-мерных точек P(t₁,…,t_m), причем точка М с координатами (2) не выходит за пределы множества Е.

Теорема. Если функции _i(P) (i=1,2,..,n) все непрерывны в точке P(t₁,…,t_m) из F, а функция f(M) непрерывна в соответствующей точке M(x₁,…,x_n) с координатами

x₁=₁(t₁,..,t_m),…,x_n=_n(t₁,..,t_m),

то и сложная функция u=f(₁(t₁,..,t_m),…,_n(t₁,..,t_m))=f(₁(P),…,_n(P)) будет непрерывна в точке P.

Доказательство. Сначала по

Теорема (аналогичная 1-й теореме Больцано-Коши для функции одной переменной). Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в некоторой связной области D. Если в двух точках М₁(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂) этой области функция принимает значения разных знаков f(x₁,y₁)<0 и f(x₂,y₂)>0, то в этой области найдется такая точка М₀(x₀,y₀), в которой функция обращается в ноль: f(x₀,y₀)=0.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области D (может быть и несвязной), то функция ограничена, т.е. все ее значения содержатся между двумя конечными границами:

mf(x,y)M.

Доказательство. Допустим функция f(x,y) неограниченна в D. Тогда n в D  точка М_n(x_n,y_n) такая, что f(x_n,y_n)>n (3)

Из ограниченной последовательности {M_n} можно извлечь подпоследовательность , сходящуюся к предельной точке ( ).

Точка D ( в противном случае, все точки были бы от нее отличны, и точка была бы точкой сгущения области D ей не принадлежащей, что невозможно в силу замкнутости D.

Вследствие непрерывности функции в точке должно быть:

f( )=f( )f( )=f( ). А это противоречит (3) ч.т.д.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция f(М) определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области D, то она достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

Равномерная непрерывность.

Определение. Пусть функция f(М) определена на множестве ERⁿ. Функцию f(М) называют равномерно непрерывной на Е, если

>0 =()>0 такое, что  точек и E для которых ( , )< f( )-f( )<.

Или если

>0 =()>0 такое, что  точек ( ,…, ) и( ,…, ) E для которых

 - <,…,  - < f( ,…, )-f( ,…, )<.

Теорема Кантора. Если функция f(М) определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве ERⁿ, то она и равномерно непрерывна на этом множестве.