- •1.Первообразная, неопределённый интеграл и их свойства.
- •13.Интегрирование дифференциальных биномов
- •14. Понятие определённого интеграла Римана. Необходимое условие интегрируемости.
- •29.Открытые и замкнутые множества в r2
- •36. Основные классы кривых
- •53.Достаточное условие дифференцируемости отображения в точке.
- •54. Производная по направлению.
- •55.Теорема Лагранжа оконечных приращениях
- •57.Локальный экстремум функций векторного аргумента. Необходимое условие.
- •58. Достаточное условие локального экстремума ф-ции вект. Аргумента (общий случай)
- •59. Теорема о существовании локального экстремума для функций двух переменных.
- •62.Условный экстремум. Необходимый и достаточный признаки существования.
- •63.Основные понятия числовых рядов.
- •64.Простейшие операции над рядами.
- •65. Критерий Коши и другие критерии сходимости для числовых рядов
- •66. Признаки сравнения для знакоположительных рядов.
- •69. Признаки Куммера и Раабе.
- •70. Признаки Бертрана и Гаусса.
1.Первообразная, неопределённый интеграл и их свойства.
Опр F(x) – первообр для f(x) на некот промежутке, если на этом промеж F(x) – дифф и F’(x)=f(x)
Св-ва первообр:
1)Если F(x) – первообр для f, то F(x)+C – также первообр
2)Если F(x) – первообр для f, x€X, то любая др первообр для f на том же промеж будет F(x)+C
3)Разность между V 2мя первообр для f(x) на промеж = С
Опр Неопр инт-л от f на некот промеж наз-ся мн-во всех первообр для f на этом промеж, и обозн , где F(x) – любая первообр для f, C=const
Св-ва неопр инт-ла:
2.Таблица основных интегралов
1)∫A(x)dx=Ax+C; 2)∫xαdx=((xα+1)/(α+1))+C; 3)∫dx/x=ln|x|+C; 4)∫axdx=ax/lna; 5)∫sinxdx=-cosx+C; 6)∫cosxdx=sinx+C; 7)∫dx/cos2x=tgx+C; 8)∫dx/sin2x=-ctgx+C; 9)∫shxdx=chx+C; 10)∫chxdx=shxdx+C; 11)∫dx/ch2x=thx+C; 12) ∫dx/sh2x=-cthx+C; 13)∫dx/(x2+1)=arctgx+C; 14)∫dx/(x2-a2)=(1/2a)*ln|(x-a)/(x+a)|;
3. Методы разложения и внесения под знак дифференциала.
Метод разложения
Интеграл от лин комбин конечного числа инт ф-ий равен той же комбинации инт-лов от инт ф-ий
Const множитель можно выносить за знак диф-ла
Метов внесения под знак диф-ла
4.Замена переменной в неопределённом интеграле.
Т. Пусть x€[a;b] и отобр – диф-ема и биективна. Тогда , где
5.Метод интегрирования по частям.
6.Разложение рациональной функции на простые дроби.
Первообразная любой рац ф-ии выражается через рац ф-ии, а также ln и arctg. Рац часть первообразной, будучи приведена к общему знаменателю, должна в качестве такового иметь произведение всех сомножителей, на которые раскладывается многочлен Q(x), только с кратностями, на единицу меньшими, чем кратность их вхождения в разложение Q(x).
7.Интегрирование рациональных функций.
, где
Первообразная любой рациональой функции выражается через рациональные функции, а также трнсцендентные функции и .
8.Метод Остроградского
метод выделения рациональной части неопределенного интеграла от рациональной дроби, знаменатель которой — многочлен степени n с кратными корнями, а числитель — многочлен степени m n-1. Согласно этому методу, , где многочлены Q1, Q2, P1, P2 имеют степени соответственно n1, n2, m1, m2, такие что n1 + n2 = n, m1 n1 — 1, m2 n2 — 1 и многочлен Q2(x) не имеет кратных корней. Таким образом, Q1(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q(x) и , следовательно, его можно найти, используя алгоритм Евклида. Из этого равенства, дифференцируя, получаем тождество, которое позволяет найти явное выражение многочленов P1(x) и P2(x).
9.Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
a) :
б) или где – рациональная функция:
в) или
или : и
10.Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.
Если , то , , y=t.
11.Подстановки Эйлера
a>0:
c>0:
a<0, c<0, D>0, x1<x<x2:
12.Выделение алгебраической части интеграла
Ф-ия наз алгебраической, если в D(f) она обладает тождеству вида:pk(x)[f(x)]k+ pk-1(x)[f(x)]k-1+…+ p1(x)f(x)+ p0(x)=0, где n>=1, nєZ, pk, pk-1,…,p0,-некоторые многочлены, Pk(x)≠0.
Подинтегральную ф-ию алгебр преобраз всегда можно представить в виде суммы:R1(x)/ +R2(x), где R1(x), R2(x) –рац ф-ии.∫ R(x, ) можно привести к инт-лу вида: ∫R1(x)/ dx. Разложив рац R1(x) на сумму многочленов pr(x) элем-ных дробей приходим к инт-лам след 3х видов:а)∫Pr(x)/ dx; б)∫1/((x-α)k )dx, kєN; в)(Mx+N)/((x2+px+q)m )dx, mєN.