- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование тригонометрических выражений
- •4. Интегрирование простейших иррациональных.
- •5. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •6. Определенный интеграл Римана
- •7. Приложения определенного интеграла
- •8. Дифференциальные уравнения. Основные понятия
- •9. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •10. Однородные и линейные дифференциальные уравнения
- •11. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •12. Некоторые типы ду, допускающие понижение порядка
- •13. Линейные ду с постоянными коэффициентами
- •14. Метод вариации произвольных постоянных
- •15. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •16. Числовые ряды. Основные теоремы о сходимости
- •17. Положительные числовые ряды. Признак Коши и Деламбера.
- •19. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функционального ряда.
- •20. Степенные ряды
- •21. Формула Тейлора. Разложение в ряды элементарных функций.
- •22. Применение рядов.
7. Приложения определенного интеграла
1) Вычисление S плоских фигур
Пусть f(x)>=0 на [a;b] и непрерывна на нем. Вычисление S криволинейной трапеции= . Если же функция отрицательна на [a;b], то . Если же фигура ограничена функциями f(x) – сверху, g(x) – снизу, то
2) Вычисление объемов тел
, где S(x) – площадь сечения,
Если кривая задана параметрически и u’>0, то
3) Вычисление длины дуги кривой
Если кривая задана параметрически, то
Если дуга задана уравнением q=q(u), то
4) Вычисление площади поверхности вращения
8. Дифференциальные уравнения. Основные понятия
Дифференциальные уравнения – это одно или несколько уравнений с производными некоторых функций.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.
Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка: F(x,y,y’,y’’,…,y(n))=0
Общим решением дифференциального уравнения называется функция y=f(x), зависящая от х и произвольных постоянных, при подстановке которых дифференциальное уравнение обращается в тождество. Если решение ДУ задается в виде уравнения, не разрешенного относительно у, то его называют общим интегралом.
9. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Общий вид: P1(x)*P2(y)dx+Q1()*Q2(y)dy=0
– ДУ с разделяющимися переменными
При решении ДУ произвольная заменяется y’=dy/dx
ДУ может быть представлено в виде: y’=F(x)*Q(y) dy/dx=F(x)*Q(y) Q(y)dy=F(x)dx
10. Однородные и линейные дифференциальные уравнения
f(x,y) – однородное порядка m, если f(tx,ty)=tmf(x,y)
Уравнение вида M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется однородным, если M и N – однородные одной степени. Решаются такие уравнения подстановкой. После подстановки однородные уравнения сводятся к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции u. Затем, вспоминая что u=y/x, возвращаемся к переменной y.
Линейные ДУ 1-го порядка называются уравнения вида: y’+p(x)y=q(x) , где p,q – заданные, непрерывные на некотором отрезке функции. Решением линейного уравнения: y=u*v y’=u’v+uv’ u’v+uv’+p(x)*uv=q(x) u’v+u(v’+p(x)v)=q(x)
Чтобы скобка обратилась в 0: u’+p(x)v=0 dv/dx= -p(x)v ∫ dv/v = ∫ -p(x)dx ln|v|= -∫ p(x)dx v= e-∫p(x)dx
U’v+0=q(x) u’ *e-∫p(x)dx=q(x) u’=q(x)* e-∫p(x)dx u=∫ q(x)* e-∫p(x)dx
Y= (∫ q(x)* e-∫p(x)dxdx+C)( e-∫p(x)dx) – общее решение ДУ
11. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Уравнения вида: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=o называется уравнением полных дифференциалов, если левая часть представляет собой дифференциал некоторой функции F(x,y).
является уравнением полных дифференциалов
12. Некоторые типы ду, допускающие понижение порядка
1) y(x)=f(x). Решаются n-кратным интегрированием
2)F(x, y(n-1),y(n))=0 – отсутствует в явном виде
Y(n-1)=p p=p(x)
Y(n)=dp/dx=p’ F(x,p,p’)
3) F(y,y’,y’’,…)=0 – отсутствует х в явном виде
13. Линейные ду с постоянными коэффициентами
1. Однородные линейные уравнения
Y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y’+any=0 (1)
Если у1,…,уn – линейно-независимые частные решения (1), то общим решением уравнения будет линейная комбинация.
Yo.o=c1y1+c2y2+…+cnyn (2)
Система функций называется линейно-независимой, если их линейная комбинация равна 0 тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны 0.
Алгебраическое уравнение:
µna1µn-1+a2µn-2+…+an-1µ+an=0 (3) называется характеристическим уравнением, соответствующее уравнению (1)
Возможны следующие случаи:
1) уравнение (3) имеет n-действительных корней, среди которых нет повторяющихся (µ1,µ2,…,µn), тогда yi=eµx – частное решение этого уравнения
Общее решение: yo.o.=c1eµ1x+c2eµ2x+…+cneµnx
2) уравнение (3) имеет действительные корни, некоторые из которых кратные
Пусть α-действительный корень кратности К, ему соответствует к-линейно-независимых решений
еαх, хеαх,…,хк-1еαх
3)всякой паре α+-βi соответствует 2 частных решения.
Е2хcos(βx) и e2xsin(βx) и если они кратные, то смотри 2 случай
2. Неоднородные линейные уравнения
Y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+…+an-1y’+any=f(x) (4)
Общее решение неоднородного уравнения (4) может быть представлено в виде суммы общего решения однородного уравнения (1), соответствующего ему и некоторого частного решения. Частное решение следует искать исходя из вида правой части уравнения методом неопределенных коэффициентов.