Блок схема

Рис.1

Проверка метода простой итерации в MathCad

Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным уравнением

x = j(x).

Пусть известно начальное приближение корня х = х₀. Подставляя это значение в правую часть уравнения, получим новое приближение:

х1 = j(х0).

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в, получаем последовательность значений:

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = j (х). Каждый действительный корень уравнения является абсциссой точки пересечения М кривой у = j (х) с прямой у = х (Рис.2, а).

Рис.2

Отправляясь от некоторой точки А₀ [x₀, j (x₀)], строим ломаную А₀В₁А₁В₂А₂… (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А₀, А₁, А₂, …лежат на кривой у=j (х), а вершины В₁, В₂, В₃, …, - на прямой у = х. Общие абсциссы точек А₁ и В₁, А₂ и В₂, …, очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х₁, х₂, … корня .

Возможен также другой вид ломаной А₀В₁А₁В₂А₂ … – “спираль” (Рис.2, б). Решение в виде “лестницы” получается, если производная j' (х) положительна, а решение в виде “спирали”, если j' (х) отрицательна.

На Рисунке 6, а, б кривая у = j (х) в окрестности корня - пологая, то есть <1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, то процесс итерации может быть расходящимся (Рис.3).

Рис.3

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Теорема: Пусть функция j (х) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], причем все ее значения j (х) [a, b].

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

q < 1

при a < x < b, то: 1) процесс итерации

сходится независимо от начального значения х_{0 I} [a, b];

2) предельное значение является единственным корнем уравнения х = j (х) на отрезке [a, b].

Пример. Уравнение

f(x) = x³ – x – 1 = 0

имеет корень x [1, 2], так как f(1) = - 1 < 0 и f(2) = 5 > 0.

Уравнение можно записать в виде

х = х³ – 1.

Здесь

j (х) = х³ – 1 и j' (х) = 3х²;

поэтому

j' (х) 3 при 1 х 2

и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены.

Если записать уравнение в виде

то будем иметь:

.

Отсюда при 1 х 2 и значит, процесс итерации для уравнения быстро сойдется.

Найдем корень x уравнения с точностью до 10^-2. Вычисляем последовательные приближения х_n с одним запасным знаком по формуле

С точностью до 10^-2 можно положить x = 1,324.

 

3Создание программы

Для начала мы создаем Form1 с использованием TextBox и Label. TextBox используется для ввода данных: начала промежутка, конца промежутка и погрешность. А также для решение уравнения. Label используется для обозначения различных данных.

Form1.

Также мы создаем меню. При помощи Menu Editor Мы создаем четыре основных пункта: Файл, Решение, График, Справка. Файл будет открывать два подпункта: Сохранить, который будет сохранить изменения программы на диске, и Выход, который будет выходить из Form1. Решение будет выводит на последний TextBox решение уравнение по заданным данным. График будет переводить на Form2. Справка будет выводит подпункт О программе…,в которой будет говорится о созданной программе.

Создание меню для Form1.

Создание меню для Form2.

Теперь создаем Form2 с использованием PictureBox. На всю Form2 растягиваем PictureBox. Также используем MenuEditor для создания меню во второй Form. Два основных пункта: Файл, в котором два подпункта: Вернуться, возвращение к Form1,Выход, выход из Form2, и График, построение графика по заданным данным.

Form2.

Полный код для Form1.

Полный код для Form2.

График функций y = 0.35 * x - 3.8 + 3 * Sin(Sqr(x)).