61. Соленоидальное поле.

Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если в любой точке дивергенция равна 0:

. (8.21)

Свойства соленоидальных полей:

– соленоидальные поля не содержат ни источников, ни стоков;

– из формулы Остроградского – Гаусса следует, что если векторное поле соленоидальное, то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю;

– (принцип сохранения интенсивности векторной трубки) потоки соленоидального векторного поля через различные сечения векторной трубки равны между собой;

– в соленоидальном векторном поле векторные линии не могут ни начинаться, ни оканчиваться внутри поля. Они либо замкнуты, либо начинаются и оканчиваются на границе поля, либо имеют бесконечные ветви (в случае неограниченного поля);

– в односвязной области в случае соленоидального векторного поля поток вектора через любую поверхность , опирающуюся на замкнутый контур , зависит не от вида этой поверхности, а только от самого контура .

Примером соленоидального поля является магнитное поле, создаваемое током в проводнике.

62. Интеграл Дирехле

Для удобства вводим обозначения: ,где , — коэффициенты Фурье, — частичные суммы ряда Фурье, — ряд Фурье.

Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:

По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим

— тригонометрический полином такого вида называется ядром Дирихле

, что принято называть интегралом Дирихле

63. Принцип Локализации

64. Признак Дини сходимости тригонометрического ряда Фурье

65. Признак Липшица сходимости тригонометрического ряда Фурье

66. Признак Дини равномерной сходимости ряда Фурье

67. Признак Липшица равномерной сходимости ряда Фурье.

68. Апроксимационная Теорема Вейерштрасса.

Пусть — непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен с вещественными коэффициентами, что для любого из выполнено условие

Доказательство:

Пусть при каждом вещественном значении переменной является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть обладает теми же свойствами, что и , и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству и для нее сходится интеграл

,

который можно обозначить как . Если положить

,

то

.

69. Комплексная форма ряда Фурье

Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера

можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:

Мы использовали здесь следующие обозначения:

Коэффициенты c_n называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами

70. Интеграл Фурье

Интегралом Фурье функции называется функция вида

.

Поскольку

и интеграл , то на основании признака сравнения несобственных интегралов, данный интеграл сходится при любом .

71. Преобразования Фурье

Отображение , ставящее в соответствие функции функцию и определяемое формулой называется преобразованием Фурье и обозначается

.

Отображение , ставящее в соответствие функции функцию по формуле

.

называется обратным преобразованием Фурье и обозначается

.

Функция называется образом Фурье функции .

Формула обращения. Если функция и существуют правая и левая производные, то справедлива формула

.

Формула обращения может быть записана в виде

.

Косинус-преобразованием Фурье называется действительная часть преобразования Фурье:

.

Синус-преобразованием Фурье называется мнимая часть преобразования Фурье:

.

Если – четная функция, то функция – нечетная функция. Тогда и

, .

Если – нечетная функция, то функция – четная функция. Тогда и