6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды

Если ф-ция f(x) явл. суммой степенного ряда в каком-либо промежутке,то говорят,что f(x) в этом промежутке разлагается в степенной ряд.

Практически важное достаточное условие разложения ф-ции в ряд Тейлора выражается следующей теоремой: если производные любого порядка ф-ции f(x) ограничены в окрестности U(x₀) точки x₀ одним и тем же числом С,т.е. |f⁽ⁿ⁾ (x)| ≤C (n=1,2,3,…),то ряд Тейлора этой ф-ции сходится к f(x) для любого xиз этой окрестности.

Если ф-ция f(x) разложима в ряд Тейлора,то это разложение единственное.

Приведем разложения в степенной ряд (ряд Маклорена)некоторых элементарных ф-ций:

e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-∞<x<∞),

sinx=x/1!-x³/3!+x⁵/5! –x⁷7! +...+(-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...

(-∞<x<+∞),

cosx=1 - x²/2!+x⁴/4! – x⁶/6!+...+(-1)ⁿ x²ⁿ/(2n)!+…

(-∞<x<+∞),

ln(1+x)=x – x²/2+x³/3 – x⁴/4+...+(- 1)^n-1 xⁿ/n+...

(-1<x≤1),

(1+x)^m=1+mx/1!+m(m-1)x²/2!+m(m-1)(m-2)x³/3!+...+

+m(m-1)...(m-n+1)xⁿ/n!

Последнее разложение имеет место при любом действительном числе m,если -1<x<1 5.3 Необходимый признак сходимости.

Если ряд а_n сходится, a_n=0

Доказательство:

S_n = a₁+a₂+…+a_n , S_n-1 = a₁+a₂+…+a_n-1, следовательно an = S_n-S_n-1 = a_n = S_n – S_n-1 = S-S=0, ч.т.д.

Следствие:

Если a_n не равно нулю, то ряд расходится. Доказательство:

Если предположить в этом случае, что ряд сходится, то из необходимого признака следует, что a_n = 0, что противоречит условию.Гармонический ряд.

1+1/2+1/3+…+1/n+…

Докажем, что гармонический ряд расходится: предположим, что он сходится и имеет сумму S. Тогда (S_2n-S_n) = S-S =0,

1+1/2+1/3+1/4+…+1/n+…, (S_2n-S_n) = 0,

5.4 Признак Д’Аламбера и признак Коши.

Признак Д’Аламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел (1). Тогада: при l<1 ряд сходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.

Д-во. По определению предела последовательности рав-во (1) означает, что для люб. ε>0 найдется такой номер N, что при n≥N выполняется нерав-во или (2). Пусть l<1. Возьмем ε таким, чтобы число q=l+ ε<1. Из нер-ва (2) следует, что или a_n+1<qa_n (n≥N). Отсюда, полагая n=N, n=N+1, n=N+2, …, получаем: a_N+1<qa_N,

a_N+2<qa_N+1<q²a_N,

………………………

a_N+p<q^pa_N , .

След-но, начиная с номера N+1, все члены данного ряда не превосходят членов геометрического ряда. Т.к. этот геометр. ряд a_Nq+a_Nq²+…+a_Nq^p+… сходится и ряд a_N+1+a_N+2+…+a_N+p+… Поскольку конечное число членов не влияет на характер сходимости ряда, заключаем, что сходится и исходный ряд .

Пусть l>1. Выберем ε>0 таким, чтобы q=l- ε>1. Из соотношения (2) следует, что q<a_n+1/a_n, a_n+1>a_nq (n=N,N+1,N+2,…). Это означает, что, начиная с номера N, члены ряда возрастают. В этом случае не выполняется необходимый признак сходимости и ряд расходится.

Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда при l<1 ряд расходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.

Док-во: аналогично доказательству признака Д’Аламбера.

Интегральный прзнак Коши-Маклорена.

Интегральный прзнак Коши-Маклорена: Пусть дан ряд , члены к-рого положит-ны и не возрастают: a₁≥a₂≥ …≥a_n≥…Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .

Док-во: Рассмотрим ряд (1). Его частичными суммами будут также интегралы . Сходимость ряда (1) означает существование предела последовательности его частичных сумм: , т.е. сходимость (существование) несобственного интеграла (2). Из свойств функции f(x) следует, что (3)

Интегрируя нер-ва (3) на отрезке [n,n+1], получаем или (4).

Пусть ряд сходится. Тогда из того, что , по признаку сравнения должен сходиться составленный из интегралов ряд (1), алгоритм след-но, и несобственный интеграл (2).

Пусть теперь ряд расходится. Тогда расходится и ряд a₂+a₃+…+a_n+…, полученный из данного ряда отбрасыванием его первого члена. Т.к. (см. нер-ва (4)), по признаку сравнения должен расходиться ряд интегралов (1), т.е. несобственный интеграл (2).