4.4. Условный экстремум
Пусть требуется найти максимум или минимум функции z = f(x, y) при условии, что x или y связаны уравнением (x, y) = 0, которое является ограничением на значения переменных (его называют также уравнением связи).
Иногда можно решать данную задачу прямым методом, который сводит ее к задаче на безусловный экстремум. Суть этого метода состоит в том, что из уравнения (x, y) = 0 выражаем одну переменную через другую, например y через x, т.е. получаем зависимость y = y(x). Теперь можем записать z = f(x, y(x)), и затем уже находить безусловные экстремумы функции одной переменной f(x, y(x)). Однако это не всегда осуществимо.
Решая задачу на условный экстремум, зачастую не выражают явно y через x (или наоборот), а используют метод множителей Лагранжа. Опишем его.
Составим вспомогательную функцию (функцию Лагранжа)
L(x, y, ) = f(x, y) + (x, y),
где числовой коэффициент называется множителем Лагранжа и он играет вспомогательную роль. Для F(x, y, ) как для функции трех переменных выписываются необходимые условия экстремума без ограничений:
Lx = + = 0, Ly = + = 0, L = (x, y) = 0
(последнее равенство есть в точности уравнение связи). Из этой системы находится одно или несколько решений (x*, y*, *), а если не включать *, то получится стационарная точка (x*, y*) исходной задачи. Затем найденные точки (x*, y*) проверяются на наличие в них экстремума и его вид – максимум или минимум. Проверка осуществляется с использованием достаточных условий экстремума при наличии ограничений на переменные. Часто из существа задачи легко решается вопрос, с максимумом или минимумом имеем дело.
Метод Лагранжа допускает обобщение на функции большего числа переменных и связей. Задача определения экстремума функции f(x1,…, xn) при наличии ограничений i(x1,…, xn) = 0, i=1,…, m; m < n, сводится к нахождению безусловного экстремума для функции Лагранжа:
L(x1,…, xn, 1,…, m) = f(x1,…, xn) + 11(x1,…, xn) + … + mm(x1,…, xn),
где i (i=1,…,m) – постоянные множители. Система для определения стационарных точек (x1*,…, xn*) и m множителей Лагранжа 1*,…,m:
= + 1+ … + m = 0 (j=1,…,m);
= i(x1,…, xn) = 0 ( i = 1,…, m)
(последние m равенств суть уравнения связей).
Вопрос о существовании и виде условного экстремума в ряде случаев решается исследованием знака выражения
(dx1,…, dxn) , (1)
где (X*, *) – краткое обозначение набора координат стационарной точки и соответствующих ей значений множителей Лагранжа, т.е.
(X*, *) = (X*= (x1*,…, xn*), *=(1*,…, m*));
в дальнейшем (X*, *) будем называть стационарными точками функции Лагранжа. Отметим, что наборы (dx1,…, dxn) выбираются не произвольным образом, а должны удовлетворять ограничениям
dx1 + … + dxn =0, i =1,…,m,
причем частные производные для функций i(x1,…, xn) в этих m уравнениях вычисляются в стационарной точке (x1*,…, xn*). Если для всевозможных ненулевых наборах (dx1,…, dxn), удовлетворяющих указанным ограничениям, величина (1) принимает лишь отрицательные значения, то в (x1*,…, xn*) имеется условный максимум; если положительные – то минимум. В этом заключаются достаточные условия экстремума при наличии ограничений.
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию f(x, y) = 2x + 3y, если имеется ограничение на значения переменных x2 + y2 =1.
Решение. Здесь (x, y) = x2 + y2 – 1 = 0. Ищем стационарные точки функции Лагранжа, которая имеет вид
L(x, y, ) = 2x + 3y + (x2 + y2 – 1)
Решая систему трех уравнений
Lx = 2 + 2x = 0, Ly = 3 + 2y = 0, L = x2 + y2 – 1 = 0,
получаем x = –1/, у = –3/(2) и + –1 = 0. Имеем 1*= , 2*= – . Итак, функция L(x, у, ) обладает двумя стационарными точками
A(x1*= – , y1*= – , 1*= ),
B(x2*= , y2*= , 2*= – ).
Рассмотрим точку A( – , – , ). Здесь
= = .
Кроме того, ввиду = 2x, = 2y, имеем
( – , – )dx + ( – , – ) = –dx – dy,
откуда dy = –dx. Имеем
(dx, dy) = (dx, –dx) =
= (dx, – dx) = ( + )dx2 > 0, если dx 0.
Итак, ( – , – ) – точка минимума.
Исследуем точку B( , , – ). Здесь
= = .
Так как = 2x, =2y, то
( , )dx + ( , ) dy = dx + dy = 0,
откуда dy = –dx. Имеем
(dx, dy) =(dx, –dx) =
= (–dx, dx) = –( + )dx2 <0,если dx 0.
Итак, ( , ) – точка максимума.
Пример 2. Доказать, что площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда данного объема V имеет минимум тогда, когда параллелепипед является кубом.
Решение. Пусть x, y, z – размеры параллелепипеда. Естественно, x, y, z > 0.
Составляем функцию Лагранжа: L = xy + xz + yz + (xyz – V). Получаем систему четырех уравнений
Lx = y + z + уz = 0, Ly = x + z + xz = 0, Lz = x + y + xy = 0,
L = xyz – V = 0.
Решая систему, получим единственную стационарную точку функции Лагранжа
P(x*= , y*= , z*= , *= –2V–1/3).
Поскольку стационарная точка в рассматриваемой задаче единственна, то она как раз и будет соответствовать прямоугольному параллелепипеду с наименьшей площадью полной поверхности. При этом все 3 размера одинаковы, т.е. этот прямоугольный параллелепипед – куб.