- •22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.
- •23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.
- •24. Определитель Вронского решений однородного уравнения и его свойства.
- •26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения n-го порядка.
- •39. Теорема существования решений дифференциального уравнения в виде степенного ряда (без доказательства). Уравнение Эйри.
- •43.Необходимое и достаточное условие для того, чтобы непрерывно дифференцируемая функция была первым интегралом нормальной системы.
- •1) Необходимость
- •2) Достаточность
- •44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
- •45. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
- •46. Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
- •47. Симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Необходимое и достаточное условие для первого интеграла симметричной системы. Интегрируемые комбинации.
- •58. Метод исключения для линейных систем с постоянными коэффициентами произвольного вида.
- •59. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости.
44. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
Теорема. О максимальном числе независимых первых интегралов.
Максимальное число независимых первых интегралов системы (1) равно её порядку.
Док-во. Пусть независимые первые интегралы системы (1). Существование такого кол-ва первых интегралов доказано ранее. Это означает, что якобиан:
(2)
допустим, что есть ещё один первый интеграл . Записывая необходимое и достаточное условие для первых интегралов получим (n+1) уравнений:
………………………………………(3)
По типу системы (3) составим новую систему для неизвестных :
…………………………(4)
Система (4) представляет собой линейную однородную алгебраическую систему (n+1) для (n+1) неизвестных. Согласно (3) система (4) имеет ненулевое решение: при . Это означает, что определитель системы (4) тождественно равен нулю, т.е. якобиан:
(5)
Соотношение (5) показывает, что межу функциями существует зависимость, и, следовательно, одна из них является функцией остальных. Таким образом, новый первый интеграл есть функция n первых независимых интегралов:
45. Эквивалентность отыскания n независимых первых интегралов построению общего решения нормальной системы.
Теорема. Отыскание n независимых первых интегралов системы (1) равносильно построению общего решения.
Док-во. Покажем, что если известны n первых интегралов, то можно найти частное решение, не проводя никакого интегрирования. Пусть – первые интегралы системы(1). Покажем, что можно найти решение , удовлетворяющие начальным условиям . Вычислим значения первых интегралов в начальной точке :
(2)
составим систему уравнений:
(3)
здесь константы те же самые, что и в (2). Будем в системе (3) считать неизвестными. В силу отличия от нуля якобиана:
систему (3) можно разрешить относительно . Получим:
(4)
Осталось показать, что построенные функции (4) являются решениями системы (1). Поскольку – решения системы (3), то при подстановке должны получатся тождества:
(5)
Полагая в (5) и сравнивая с (2), имеем:
Отсюда,
(6)
Продифференцируем тождества (5) по x:
(7)
Однако, поскольку – первые интегралы, то они должны удовлетворять необходимому и достаточному условию при . Подставляя , имеем:
(8)
Вычитая из уравнений системы (7) одноименные уравнения системы (8), придем к:
(9)
Считая в системе тождеств (9) переменные в квадратных скобках неизвестными, получаем однородную систему уравнений с отличным от нуля определителем. Такая система имеет только тривиальное решение, т.е. справедливы тождества:
Это означает, что функции (4) являются решениями системы , удовлетворяющими заданным начальным условиям (6)
46. Способ понижения порядка системы, если известна часть первых интегралов.
Пусть имеется исходная система n диф. ур-ий первого порядка:
(1)
для которой известны k независимых первых интегралов: (k<n). Это означает, что:
Предположим, что определитель из k первых столбцов и k строк не равен нулю:
(2)
В силу определения первых интегралов:
(3)
В силу условия (2) систему (3) можно разрешить относительно переменных . В результате получим:
(4)
Тогда в системе (1) можно взять последние (n-k) уравнений и подставить в них (4). Получим систему (n-k)-го порядка:
(5)