Определители и их свойства. Основные методы вычисления определителей. Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений. Методы решения.
Пусть имеется множество М={1, 2, …, n}. Биективное отображение М на себя называется подстановкой n-ной степени. Рассмотрим подстановку f на множестве Sn:
f= 1, 2, 3, …, n
f(1) f(2) f(3)…f(n)
Рассмотрим пару чисел (i, k). Пара (i, k) образует инверсию (неправильную пару), если числа i – k и f(i) – f(k) имеют разные знаки. А если числа i – k и f(i) – f(k) имеют одинаковые знаки, то пара называется правильной. Подстановка f n-ной степени называется четной, если она содержит четное число инверсий, и нечетной, если число инверсий нечетное.
Пусть нам дана матрица А:
11 12
… 1n
21 22 … 2n
……………….
n1 n2 … nn
Рассмотрим всевозможные произведения элементов данной матрицы, взятых по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Эти произведение будут иметь вид: 1i1 2i2…nin.. Этому элементу поставим в соответствии подстановку:
1 2 … n
i1 i2 … in
И обратно: любой подстановке :
1 2 …. n
(1) (2) … (n)
поставим в соответствие 1(1)2(2)…n(n). Т.о. мы установили отображение между множеством Sn и множеством, содержащим элементы вида: 1i1 2i2…nin. Припишем каждому произведению знак его подстановки и получим число: sign1(1)2(2)…n(n). Определитель матрицы А называется число: |A|= sign1(1)2(2)…n(n). Т.к. различных подстановок существует n!, то сумма содержит n! слагаемых.
При n=1: А=(11) |11| = 11
П
ри
n=2: А= 11
12
|A| = 1122
- 1221.
21 22
При n=3 – правило треугольника.
Мнемоническое правило…
Частные случаи расчета определителя n-ного порядка: 1) если определитель содержит нулевую строку или столбец, то он равен 0. 2) матрица называется диагональной, если все элементы вне главной диагонали нулевые. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. 3) определитель треугольной матрицы (элементы выше или ниже главной диагонали нулевые) равен произведению элементов главной диагонали. Основные свойства определителей: 1) определитель квадратной матрицы равен определителю транспонированной матрицы. 2) если все элементы некоторой строки (столбца) определителя =0, то определитель =0. 3) определитель матрицы, которая содержит 2 одинаковые строки, =0. 4) если все элементы одной строки матрицы определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число. Следствие 1: общий множитель всех элементов какой-нибудь строки можно выносить за знак определителя. Следствие 2: определитель матрицы, у которой какие-либо 2 строки пропорциональны, =0. 5) определитель, у которого каждый элемент некоторой строки является суммой 2 слагаемых, равен сумме 2 определителей, у первого из которых в указанной строке стоят первые слагаемые, а у второго – вторые слагаемые, а остальные строки у всех определителей одинаковые. Следствие 1: свойство справедливо для строки, каждый элемент которой представлен в виде конечного числа слагаемых. Следствие 2: определитель матрицы не изменяется, если к какой-нибудь строке матрицы прибавить другую строку, умноженную на некоторое число. Следствие 3: если в определителе какая-нибудь строка – есть линейная комбинация других строк, то определитель =0. 6) от перестановки 2 строк матрицы определитель меняет свой знак, не изменяясь по абсолютной величине.
Минор (Мik) – определитель матрицы, полученный из квадратной матрицы вычеркиванием i-той строки и k-того столбца. Произведение (-1)i+kМik называется алгебраическим дополнением элемента αik и обозначается Аik. Теорема (об определителе матрицы, содержащей последнюю строку с одним ненулевым элементом): если равны 0 все элементы последней строки квадратной матрицы А за исключением быть может элемента αmn, тогда определитель матрицы |А|= αmnМmn.
Теорема (об определителе матрицы, содержащей строку с одним ненулевым элементом): если в какой-либо строке матрицы все элементы кроме быть может 1равны 0, то определитель этой матрицы равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение.
Теорема (о разложении определителя по строке или столбцу): определитель квадратной матрицы А равен сумме произведений элементов какого-либо столбца на их алгебраическое дополнение: |А|=α1kА1k + … + αnkАnk (1), |А|=αi1Аi1 + … + αinАin (2). Д-во: Каждому элементу i-той строки матрицы А в качестве слагаемых добавим (n-1) нолей так, чтобы в своих суммах: αi1 стоял на 1 месте, αi2 стоял на 2 месте, …, αin стоял на n месте.
А = (αi1 + 0+… +0+0 0+ αi2+0+…+0 ….. 0+0+….+ αin)
К полученной матрице применим свойство аддитивности определителя:
Системы линейных уравнений. Разрешимость систем линейных уравнений. Методы решения.
Пусть дано Р – числовое поле, х1, х2, …, хn – переменные из поля Р. Предикат от n переменных а1x1 + а2x2+ …+ аnxn = b, где а1, а2, …, аn, bP, называется линейным уравнением с n неизвестными над полем Р. Упорядоченная n-ка чисел =<1, 2, …, n>, iP, говорят является решением линейного уравнения , если она обращает его в истинное высказывание: 1x1 + 2x2+ …+ nxn = b.
Системой линейных уравнений будем называть непустое конечное множество линейных уравнений. Системой линейных уравнений называется конъюнкция линейных уравнений. Решением системы ЛУ называется любая упорядоченная n-ка чисел, являющаяся решением каждого уравнения данной системы. Если система ЛУ имеет хотя бы 1 решение, то ее называют совместной. Если множество решений системы пусто, то ее называют несовместной. Решение СЛУ методом Гаусса: метод последовательного исключения неизвестных. Пусть имеется система S и ставится задача: найти множество ее решений. С помощью элементарных преобразований преобразуем систему S в систему, которая легуо решается. 1 ШАГ: если в системе S имеется уравнение вида 0=0, тогда его отбрасываем и будем считать, что в системе S таких уравнений нет. Если система S имеет уравнение вида 0=b, то поскольку не одна n-ка чисел не может удовлетворять этому уравнению, то эта система S несовместна. Предположим, что в системе нет уравнений вида 0=b. Рассмотрим коэффициенты первого уравнения системы. Хотя бы один из них отличен от 0. Перенумерацией неизвестных добьемся того, чтобы этот коэффициент встал на первое место. Будем считать, что а110. Исключим неизвестное х1 из всех уравнений, начиная со второго. Умножим первое уравнение системы на (-а21/a11) и сложим со вторым. Получим систему S1. Уравнения вида 0=0 отбрасываем, если есть уравнения 0=b, то система несовместна. 2 ШАГ: аналогично предыдущему шагу исключим из всех уравнений, начиная с третьего переменную х2. Дальнейшие шаги выполняем аналогично и может оказаться, что на каком-то шаге получим уравнение вида 0=b, тогда система S несовместна, или через конечное число шагов мы придем к системе S*:
a11x1 + a12x2+ …+ a1nxn = b1
a22x2+ …+ a2nxn = b2
………………………………………………
a*ssxs+ …+ a*snxn = b*s.
где sm.
В системе S* имеем a110, a220, …, a*ss0. Такую систему называют ступенчатой, а в случае s=n – треугольной, тогда: аnn*xn=b*n. Она всегда совместна и имеет единственное решение, которое находится по формуле xn=b*n/а*nn. Подставим переменную хn в предпоследнее уравнение, найдем значение хn-1. И т.д., поднимаясь выше к первому уравнению, найдем значение переменной х1. Эта упорядоченная n-ка будет единственным решением системы. Предположим, что s<n у системы S*. Тогда неизвестные хs+1, xs+2, …, xn объявим свободными и будем им придавать произвольные значения: хs+1= s+1, xs+2=s+2, …, xn=n. Подставим эти значения в систему S*. Она преобразуется в треугольную относительно s неизвестных. Согласно предыдущим рассуждениям треугольная система имеет единственное решение: (1, 2, …, s). Тогда решением исходной системы будет: (1, 2, …, s, s+1, …, n). Система S* в этом случае будет иметь бесконечно много решений, поскольку свободным переменным можно придавать любые значения. Решение, которое зависит от свободных переменных, называется общим решением системы. Теорема: Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – применим к любой СЛУ, при этом система будет несовместна, если в процессе преобразований мы получим кравнение вида 0=b. Если же такого уравнения мы не встретим, то система будет совместной. И она будет иметь единственное решение, если она приводится к треугольному виду, и иметь бесконечно много решений, если она приводится к ступенчатому виду.
ЛУ называется однородным, если свободный член =0. СЛУ, состоящая из однородных уравнений, называется однородной СЛУ. Такая система всегда совместна, т.к. ее решением всегда является нулевое решение. Теорема: если в однородной СЛУ число уравнений < числа неизвестных, то эта система имеет бесконечно много решений.
Теорема Кронекера – Капелли (критерий совместности СЛУ): СЛУ совместна ранг основной матрицы равен рангу расширенной.
Метод Крамера: Теорема: пусть имеется система из n ЛУ с n неизвестными. Если определитель основной матрицы не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам: х1=|А1|/|А|, х2=|А2|/|А|, …, хn=|Аn|/|А|, где Аi получается из матрицы А заменой i-того столбца столбцом свободных членов. Этот метод сложнее, чем метод Гаусса и применяется реже, когда определитель 0.
Матричный способ: пусть имеется СЛУ:
11х1 + 12х2
+ … + 1nxn
= 1,
………………………………….
n1х1 + n2х2 + … + nnxn = n.
11,
12,
…, 1n
A= …………………
n1, n2, …, nn
x1
X= …
xn
1
B = ….
n
AX=B – матричное уравнение. Запись СЛУ в этом виде называется записью в матричной форме.
AX=B |A-1
A-1AX=A-1B
EX=A-1B
X=A-1B.
Столбец неизвестных можно найти путем умножения обратной основной матрицы на столбец свободных членов. Этот способ пригоден только в том случае, если для основной матрицы существует обратная.