- •4.Условия выпуклости графика функции. Точки перегиба.
- •5.Асимптоты графика функции
- •6.Общая схема исследования функции и построения графика
- •3.Глобальный экстремум на отрезке
- •2.Локальные экстремумы. Необходимое и достаточные условия существования экстремума
- •7.Определение функции нескольких переменных. Способы задания ф.Н.П.
- •9.Предел функции в точке, непрерывность ф.М.П.
- •14.Локальные экстремумы ф.М.П.
- •15. Необходимое условие существования экстремума
- •16. Достаточные условия существования экстремума
- •1.Исследование функции на монотонность
- •36.Решение ду 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •11. Дифференцируемость ф.М.П. Примеры применения частных производных в экономике.
- •19. Наибольшее и наименьшее значения ф.М.П. В ограниченной замкнутой области.
- •26. Услов интегрируемости функ. Форм. Нюьтона-Лейбница
- •27. Свойства определенного интеграла
- •28.Геометрические приложения определенного интеграла
7.Определение функции нескольких переменных. Способы задания ф.Н.П.
Если каждой паре (x;y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторого множества D соответствует единственное определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D
Обозначается
Способы задания функций нескольких переменных:
Аналитический, который может быть явным, неявным.
Табличный: для функции двух переменных – в виде таблицы с двумя входами
z ij= z (xi,yj), i=1,2,...,n, j=1,2,…,m
8.Линии и поверхности уровня.
Линией уровня функции двух переменных х и у называется геометрическое место точек на плоскости Х0У , в которых функция z=f(x,y) принимает одно и то же значение. Линии уровня функции z=f(x,y) определяются уравнением f(x,y)=C , где C=const . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Поверхностью уровня функции трех переменных x,y,z называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция u(x,y,z) принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид: u(x,y,z)=C.
9.Предел функции в точке, непрерывность ф.М.П.
Пусть функция z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки Мо(Xо;Yо), кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции z=f(x;y) при х→Xо и у→Yо (или, что то же самое, при М(х;у)→Мо(Xо;Yо)), если для любого ε> 0 существует > 0 такое, что для всех х Xо и у у0 и удовлетворяющих неравенству < выполняется неравенство <ε. Записывают:
или
Функция z = f(x;у) (или f(М)) называется непрерывной в точке Мо(хо;уо), если она:
а)определена в этой точке и некоторой ее окрестности,
б)имеет предел ,
в) этот предел равен значению функции z в точке М0, т. е.
Функция z = f(x;у) называется непрерывной в точке М0(X0;Y0) D, если выполняется равенство ,т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов x и у стремятся к нулю.
14.Локальные экстремумы ф.М.П.
Точка (хо;уо) называется точкой максимума функции z = f(х;у), если существует такая -окрестность точки (Xо; Yо), что для каждой точки (x; у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство f(x; у) < f(Xо;Yо).Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (x; у), отличных от (Xо;Yо), из -окрестности точки (Xо;Yо) выполняется неравенство: f(x;у) >f(Xо;Уо).Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
15. Необходимое условие существования экстремума
Если в точке N(хо;уо) дифференцируемая функция z=f(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f’х(хо;уо)=0,