- •События, их виды и действия с ними. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности.
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое и статистическое определения вероятности. Свойства вероятности. Классическое определение вероятности.
- •Свойства вероятности.
- •Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
- •Теоремы сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей.
- •4. Независимость событий. Условные вероятности. Теоремы об умножениях вероятностей зависимых и независимых событий. Условная вероятность
- •Независимость событий
- •Теоремы умножения вероятностей.
- •5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Формула полной вероятности.
- •6. Схема и формула Бернулли.
- •7. Понятия случайной величины.
- •Функция распределения
- •Свойства функции распределения:
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •8. Математическое ожидание св и его свойства.
- •Дисперсия и ее свойства. Стандартное отклонение.
- •Свойства дисперсии:
- •10. Биномиальное распределение. Формула Бернулли. Распределение Пуассона. Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •11. Непрерывная случайная величина
- •Свойства функции распределения:
- •Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •Свойства плотности распределения вероятностей:
- •13. Равномерный закон распределения
- •Понятие многомерной (векторной) св и ее закон, функция и плотность распределения. Условные математические ожидания и дисперсии. Многомерные случайные величины
- •Зависимые св. Ковариация и коэффициент корреляции. Корреляционная матрица случайного вектора. Независимые случайные величины
- •Свойства независимых случайных величин
- •Ковариация
- •Линейный коэффициент корреляции
- •Нормальное распределение.
- •Центральная предельная теорема
- •Нормальное распределение(не википед)
- •18. Вероятность попадания св в заданный интервал .Вероятность заданного отклонения нормальной св.Правило 3 сигм.
- •Отметим ряд свойств функции Лапласа, полезных для применения.
- •19. Теоремы Муавра-Лапласа
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова и ее применение.
- •Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
- •Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •Полигон и гистограмма.
- •Генеральная и выборочная средние, их свойства. Оценка генеральной средней по выборочной.
- •Генеральная и выборочная дисперсии, их свойства. Оценка генеральной дисперсии по выборочной. Исправленная дисперсия.
- •Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
8. Математическое ожидание св и его свойства.
Математическое ожидание ДСВ Х принимающей конечное множество значений с законом распределения
p(X=xk)=pk; k=1,2,3,…,n (1)
k=1 (2)
называется сумма произведений ее значений на их соответствующие вероятности
M(x) = x1*p1+x2*p2+…+xn*pn
M(x) = kpk
В мат. ожидании ДСВ приближенно равно среднему арифметическому всех ее возможных значений. В следствие этого мат. ожидание СВ называют его средним значением.
Замечание:
Мат. ожидание СВ называют так же центром распределения. Это название заимствовано из механики и объясняется следующим:
- если в точках x1, x2,…,xn оси Ox находятся соответственно массивы p1,p2,…,pn, то координата x центра тяжести системы материальных точек вычисляется по формуле:
X = мат. ожидание
вероятность
Замечание:
Поскольку выполняется 2, то X = kpk = M(x)
Мат. ожидание ДСВ принимающей бесконечную последовательность значений с законом распределения
p(X-xk) = pk; k=1,2,3,… (4)
k=1 (5)
M(x)=x1p1+x2p2+…
M(x)= kpk (6)
Определяется формулой 6 если ряд сходится абсолютно.
Мат. ожидание непрерывной СВ Х, все значения которой принадлежат отрезку [α; β], а p(x) – ее плотность вероятности определяется формулой:
M(x)= (7)
Если все значения непрерывной СВ X принадлежат бесконечному промежутку (-∞;+∞) а p(x) – ее плотность вероятности, то мат. ожидание определяется формулой:
M(x)= (8)
Когда этот несобственный интеграл сходится абсолютно. Мат. ожидание СВ есть величина постоянная
Свойства математического ожидания:
Значение мат. ожидания СВ X заключено между ее наименьшим и наибольшим значениями:
a ≤ M(x) ≤ b (9), где a – наименьшее, b – наибольшее
Мат. ожидание постоянной величины равно этой величине:
M(C) = C, C=const (10)
Постоянный множитель можно вынести за знак мат. ожидания:
M(CX) = C*M(X), C=const (11)
Мат. ожидание суммы двух СВ равно сумме их мат. ожиданий:
M(X+Y) = M(X) + M(Y) (12)
это равенство распространяется на n случайных величин:
M(x1+x2+…+xn) = M(x1) + M(x2) +…+ M(xn) (13)
Мат. ожидание разности двух СВ равно разности их мат. ожиданий:
M(X-Y) = M(X) – M(Y) (14)
Мат. ожидание произведения двух независимых СВ равно произведению мат. ожиданий этих величин:
M(X*Y) = M(X) * M(Y) (15)
это равенство распространяется на n независимых С:
M(x1*x2*…*xn) = M(x1) * M(x2) *…* M(xn) (16)
Пример 1: Найти мат. ожидание ДСВ X, закон распределения которой задан таблицей
x |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
p |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Решение:
В соответствии с формулой 3 находим:
M(x) = 3*0,1 + 4*0,2 + 5*0,4 + 6*0,2 + 7*0,1 = 5
Итак мат. ожидание данной СВ=5
3 < 5 < 7
a < M(x) <b
неравенство 9 выполняется.
Пример 2: Закон распределения ДСВ задан таблицей:
x |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
p |
0,1 |
0,2 |
0,15 |
0,25 |
0,3 |
Записать закон распределения СВ: 3x; .
Найти мат. ожидание СВ: x;3x;
Решение:
Запишем законы распределения СВ 3x и с помощью таблицы. По формулам 3 вычислим мат. ожидание этих величин:
3x |
-12 |
-6 |
0 |
6 |
12 |
p |
0,1 |
0,2 |
0,15 |
0,25 |
0,3 |
|
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
P |
0,1 |
0,2 |
0,15 |
0,25 |
0,3 |
|
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
p |
0,1 |
0,2 |
0,15 |
0,25 |
0,3 |
M(x) = -4*0,1-2*0,2+0*0,15+2*0,25+4*0,3 = 0,9
M(3x) = -12*0,1-6*0,2+0*0,15+6*0,25+12*0,3 = 2,7
M( ) = 0,45
Замечание: мат. ожидание СВ 3x и можно выполнить пользуясь равенством 11 при известном мат. ожидании величины X:
M(3x) = 3M(x) = 3*0,9 = 2,7
M( *x) = * M(x) = 0,45.