Лекция 5. (Продолжение л.4)
Вычислим вероятность попадания результата
наблюдения в некоторый заданный интервал
:
Заменим переменные:
после чего получим следующее выражение для искомой вероятности:
Интегралы, стоящие в квадратных скобках, не выражаются в элементарных функциях, поэтому их вычисляют с помощью так называемого нормированного нормального распределения с дифференциальной функцией
Далее приведены значения дифференциальной функции нормированного нормального распределения, а также интегральной функции этого распределения, определяемой как
С помощью функции Ф(z) вероятность
находят
как
При использовании данной формулы следует иметь в виду тождество
вытекающее непосредственно из определения функции Ф(z).
Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей, являющейся одной из самых замечательных математических теорем, в разработке которой принимали участие многие крупнейшие математики - Муавр, Лаплас, Гаусс, Чебышев и Ляпунов. Центральная предельная теорема утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.
1. Предположим, что результаты наблюдений распределены нормально, но их среднеквадратическое отклонение является величиной случайной, изменяющейся от опыта к опыту. Такое предположение более осторожное, чем предположение о неизменности в течение всего времени измерений. В этом случае, рассуждая таким же образом, как и прежде, легко найти, что энтропия обращается в максимум, если результаты наблюдений имеют распределение Лапласа с плотностью
|
(5.1) |
где - математическое ожидание, - среднеквадратическое отклонение результатов наблюдения. Распределением Лапласа следует пользоваться в тех случаях, когда точностные характеристики заранее неизвестны или нестабильны во времени.
Дифференциальная функция распределения
случайных погрешностей получается
подстановкой
и
в
предыдущее выражение:
Асимметрия распределения равна нулю, поскольку распределение симметрично относительно нуля, а эксцесс составляет:
|
(5.2) |
Таким образом, по сравнению с нормальным распределением (Ех = 0) равномерное распределение является более плосковершинным (Ех = -1.2), а распределение Лапласа - более островершинным (Ех=3).
Оценка с помощью интервалов
Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.
Вначале остановимся на определении
доверительного интервала для среднего
арифметического значения измеряемой
величины. Предположим, что распределение
результатов наблюдений нормально и
известна дисперсия
.
Найдем вероятность попадания результата
наблюдений в интервал
.
Согласно формуле:
Но
и, если систематические погрешности
исключены
,
Это означает, что истинное значение Q
измеряемой величины с доверительной
вероятностью
находится
между границами доверительного интервала
.
Половина длины доверительного интервала
называется
доверительной границей случайного
отклонения результатов наблюдений,
соответствующей доверительной
вероятности Р. Для определения
доверительной границы (при выполнении
перечисленных условий) задаются
доверительной вероятностью, например
Р=0.95 или Р=0.995 и по формулам
определяют соответствующее значение
интегральной
функции нормированного нормального
распределения. Затем по данным находят
значение коэффициента
и
вычисляют доверительное отклонение
.
Проведение многократных наблюдений
позволяет значительно сократить
доверительный интервал. Действительно,
если результаты наблюдений
(i=l,
2,..., n) распределены нормально, то нормально
распределены и величины
,
а значит, и среднее арифметическое
,
являющееся их суммой. Поэтому имеет
место равенство.
где
определяется
по заданной доверительной вероятности
Р.
Полученный доверительный интервал,
построенный с помощью среднего
арифметического результатов n независимых
повторных наблюдений, в
раз
короче интервала, вычисленного по
результату одного наблюдения, хотя
доверительная вероятность для них
одинакова. Это говорит о том, что
сходимость измерений растет пропорционально
корню квадратному из числа наблюдений.
Половина длины нового доверительного интервала
|
(5.3) |
называется доверительной границей погрешности результата измерений, а итог измерений записывается в виде
Теперь рассмотрим случай, когда распределение результатов наблюдений нормально, но их дисперсия неизвестна. В этих условиях пользуются отношением
|
(5.4) |
называемым дробью Стьюдента. Входящие
в нее величины
и
вычисляют
на основании опытных данных; они
представляют собой точечные оценки
математического ожидания и
среднеквадратического отклонения
результатов наблюдений.
Плотность распределения этой дроби, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:
|
(5.5) |
где S(t, k) - плотность распределения
Стьюдента. Величина k называется числом
степеней свободы и равна n - 1. Вероятность
того, что дробь Стьюдента в результате
выполненных наблюдений примет некоторое
значение в интервале
,
согласно выражению (5.5), вычисляется по
формуле
или, поскольку S(t, k) является четной функцией аргумента t,
Подставив вместо дроби Стьюдента t ее
выражение через
и
,
получим окончательно
|
(5.6) |
Величины
,
вычисленные по формулам (5.5) и (5.6), были
табулированы Фишером для различных
значений доверительной вероятности Р
в пределах 0.10 - 0.99 при
В
табл.5.1 приведены значения
для
наиболее часто употребляемых доверительных
вероятностей Р.
Таким образом, с помощью распределения
Стьюдента по формуле (5.6) может быть
найдена вероятность того, что отклонение
среднего арифметического от истинного
значения измеряемой величины не превышает
,
например
и
т.д. Итог измерений записывается в виде
ПРИМЕР
При измерении ЭДС нормального элемента полечены следующие результаты:
N опыта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
ЭДС |
1,018456 |
1,018452 |
1,018453 |
1,018457 |
1,018455 |
1,018457 |
N опыта |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
ЭДС |
1,018521 |
1,018456 |
1,018455 |
1,018454 |
1,018458 |
1,018457 |
Приняв доверительную вероятность р=0.99, определить результат, оценить случайную и относительную погрешности.
Для решения данной задачи предлагается следующая методика:
1. определяется неисправленный результат измерения
2. определяется относительная погрешность неисправленного результата измерений
3. вычисляем СКО погрешности неисправленного результата
3. исключаем явные промахи (аномальные результаты). Они не должны удовлетворять условию:
После исключения промахов (допустим, что их количество получилось r ) определяем те же величины для исправленного результата измерений.
Математическое ожидание:
Относительная погрешность:
СКО результата:
Вычисляем результат измерений, как:
,
где tp - коэффициент Стьюдента.
Некоторые значения коэффициентов Стьюдента приведены в таблице:
Таблица 5.1
Число измерений |
Доверительная вероятность |
||
0.9 |
0.95 |
0.99 |
|
2 |
6,31 |
12,72 |
63,7 |
3 |
2,92 |
4,3 |
9,92 |
4 |
2,35 |
3,18 |
5,84 |
5 |
2,13 |
2,78 |
4,6 |
6 |
2,02 |
2,57 |
4,03 |
7 |
1,94 |
2,48 |
3,71 |
8 |
1,9 |
2,37 |
3,5 |
9 |
1,86 |
2,31 |
3,36 |
10 |
1,83 |
2,26 |
3,25 |
15 |
1,75 |
2,15 |
2,92 |
20 |
1,72 |
2,08 |
2,84 |
30 |
1,7 |
2,05 |
2,73 |
Более 30 |
1,65 |
1,96 |
2,58 |
По приведенной методике определяем математическое ожидание неисправленного результата:
m’=12.221531/12=1.0184609.
Определяем относительную погрешность неисправленного результата i’:
1’ |
-4.8*10-6 |
5’ |
-5,79*10-6 |
9’ |
-5,79*10-6 |
2’ |
-8.74*10-6 |
6’ |
-3,83*10-6 |
10’ |
-6,77*10-6 |
3’ |
-7,76*10-6 |
7’ |
5,9*10-5 |
11’ |
-2,85*10-6 |
4’ |
-3,83*10-6 |
8’ |
-4,8*10-6 |
12’ |
-3,83*10-6 |
Определяем СКО неисправленного результата:
(
')=1,865*10-5.
Определяем границы, в которых находится результат измерения (выявляем явные промахи):
m’-m’*3 ( ')=1.0184039
m’+m’*3 ( ')=1.0185179.
По результатам измерений делаем вывод, что измерение № 7 является явным промахом и должно быть исключено из вычислений.
Определяем математическое ожидание исправленного результата:
m=1.0184553.
Определяем относительную погрешность исправленного результата di:
1 |
6.873*10-7 |
5 |
-2.95*10-7 |
9 |
-2.95*10-7 |
2 |
-3.24*10-6 |
6 |
1.67*10-6 |
10 |
-1.87*10-7 |
3 |
-2.26*10-6 |
7 |
-“- |
11 |
2.65*10-6 |
4 |
1.67*10-6 |
8 |
6.873*10-7 |
12 |
1.67*10-6 |
Определяем СКО исправленного результата:
( ')=1,837*10-6.
Определяем результат измерения:
Х=1.837±5.7*10-8, при доверительной вероятности р=0.99.