26. Нечеткие вычисления

Представления нечетких множеств Нечеткие операции и их свойства. Алгебра нечетких отношений. Нечеткая и лингвистическая переменные. Элементы нечеткой логики.

Основные понятия нечеткой логики.

Основы нечеткой логики (fuzzy logic) ввел в 1965 году американский математик, профессор информатики в Университете в Беркли (Калифорния) Лофти А.Заде (Иран).

Нечеткое подмножество N множества M определяется как множество упорядоченных пар N = {μN(x)/x}, где μN(x) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в интервале [0, 1] и указывающая степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству N. Таким образом, нечеткое множество N можно записать как

_n

N=Σ(μ(x_i)/x_i),

ⁱ⁼¹

где x_i - i-е значение базовой шкалы, а знак "+" не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Одно из главных понятий нечеткой логики - это лингвистическая переменная (ЛП). ЛП - это переменная, значения которой определяется набором словесных характеристик некоторого свойства. Например, ЛП "возраст" может иметь значения ЛП=МлВ, ДВ, ОВ, ЮВ, МВ, ЗВ, ПВ, СВ, обозначающие возраст младенческий, детский, отроческий, юношеский, молодой, зрелый, преклонный и старый, соответственно. Множество M - это шкала прожитых человеком лет [0..120]. Функция принадлежности определяет, насколько мы уверены, что данное количество прожитых лет можно отнести к данному значению ЛП. Допустим, что неким экспертом к молодому возрасту отнесены люди в возрасте 20 лет со степенью уверенности 0,8, в возрасте 25 лет со степенью уверенности 0,95, в возрасте 30 лет со степенью уверенности 0,95 и в возрасте 35 лет со степенью уверенности 0,7. Итак: μ(x₁)=0,8; μ(x₂)=0,95; μ(x₃)=0,95; μ(x₄)=0,7;

Значение ЛП=МВ можно записать:

МВ=μ(x₁)/x₁+μ(x₂)/x₂+μ(x₃)/x₃+μ(x₄)/x₄=0,8/x₁+0,95/x₂+0,95/x₃+0,7/x₄.

Таким образом, нечеткие множества позволяют учитывать субъективные мнения отдельных экспертов.

Для операций с нечеткими множествами существуют различные операции, например, операция "нечеткое ИЛИ" (иначе ) задается в нечеткой логике:

μ(x)=max(μ₁(x), μ₂(x)) и при вероятностном подходе так: μ(x)=μ₁(x)+μ₂(x)-μ₁(x)·μ₂(x).

Существуют и другие операции над нечеткими числами, такие как расширенные бинарные арифметические операции (сложение, умножение и пр.) для нечетких чисел, определяемые через соответствующие операции для четких чисел с использованием принципа обобщения и т.д.

Нечеткое принятие решений.

Нечетким логическим выводом (нечетким принятием решения) называется получение заключения в виде нечеткого множества, соответствующего текущим значениям входных переменных, с использованием нечеткой базы знаний и нечетких операций.

Основу нечеткого логического вывода составляет композиционное правило Заде.

Композиционное правило вывода Заде формулируется следующим образом: если известно нечеткое отношение R между входной переменной x и выходной переменной y, то при нечетком значении входной переменной x=A, нечеткое значения выходной переменной определяется так:

y=A°R, где ° - максминая (max-min) композиция.

В общем случаи логический вывод осуществляется за 4 этапа:

- С помощью функций принадлежности, определенных на входных переменных, вычисляются их фактические значения и определяется степень уверенности для каждой предпосылки правила.

- Используя процедуру вывода, вычисляется значение истинности для предпосылки каждого правила, которое применяется к заключению каждого правила. В результате этого каждой переменной вывода для каждого правила назначается одно значение из нечеткого подмножества значений. Обычно для вывода используется минимизация или правила продукции. При минимизирующем логическом выводе, выходная функция принадлежности ограничена сверху в соответствии с вычисленной степенью истинности предпосылок (нечеткое логическое И). В логическом выводе с использованием продукций, выходная функция принадлежности масштабируется с помощью, вычисленной степенью истинности предпосылки правила.

- Используя композицию, все нечеткие подмножества, назначенные для каждой выходной переменной объединяются вместе и формируется единственное нечеткое подмножество значений для каждой выводимой переменной. В качестве правил логического вывода обычно используется только минимум (min) или умножение (prod). В логическом выводе минимума функция принадлежности "отсекается" по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки правила. В логическом выводе умножения функция принадлежности вывода масштабируется при помощи вычисленной степени истинности предпосылки правила.

- Наконец - (необязательный) процесс точной интерпретации, который используется тогда, когда полезно преобразовывать нечеткий набор значений выводимых переменных к точным значениям. Имеется достаточно большое количество методов перехода к точным значениям (по крайней мере 30). Два из общих методов - это методы Полной интерпретации и по Максимуму. В методе полной интерпретации, точное значение выводимой переменной вычисляется как значение "центра тяжести" функции принадлежности для нечеткого значения. В методе Максимума в качестве точного значения выводимой переменной принимается максимальное значение функции принадлежности нечеткого соответствия.

Разработано несколько моделей нечеткого логического вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукомото и др.

Рассмотрим наиболее частые модели нечеткого вывода:

Пусть база знаний состоит из двух правил:

П₁: если x есть A₁ и y есть B₁, то z есть C_1,

П₂: если x есть A₂ и y есть B₂, то z есть C_2,

где x и y - входные переменные, z - выходная переменная, A₁, A₂, B₁, B₂,C₁,C₂ функции принадлежности, при этом четкое значение z₀ необходимо определить на основе приведенной информации и четких значений x₀ и y₀.