Требования задачи
Записать уравнения, описывающие изменение с течением времени параметров газа в каждом из объемов.
Записать уравнения, позволяющие установить значения скоростей перетекания газа из одного объема в другой. Выполнить решение сформулированной задачи, начиная с момента времени t0=0 до момента времени tK=0.05 c. Результаты расчетов представить в виде таблиц и графиков изменения с течением времени значений давления и температуры в каждом из объемов и скоростей истечения из объема в объем.
4 V 5
Рис.1. Технический объект.
1-цилиндр; 2,3-рабочий объем; 4- отверстие, через которое происходит истечение газа; 5-поршень;
Основные расчетные зависимости
1. Уравнения процессов в каждом из объемов может быть записано в виде
Для первого объема:
,
,
,
,
.
Для второго объема:
,
,
,
,
.
2. Параметры истечения газа из объема в объем или из объема в окружающее пространство устанавливаются уравнениями
,
,
.
Последние формулы справедливы, если выполняется условие . В противном случае в объем с номером i из объема с номером j происходит втекание газа. В этом случае последние уравнения примут вид
,
,
.
На каждом шаге времени требуется решать систему дифференциальных уравнений для каждого объема, и с помощью полученных значений плотностей, объемов и внутренних энергий газа определять давления и температуру газа в каждом из объемов.
Систему дифференциальных уравнений решаем методом Рунге-Кутта.
Теоретические сведения Метод Ренге-Кутта, для решения дифференциальных уравнений
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется по известным вычислительным алгоритмам, соответствующим методам Эйлера и Рунге-Кутта. Первая группа методов имеет первый или второй (соответствует методу Эйлера с модификацией) порядок точности. Вторая группа методов имеет порядок точности не ниже четвертого.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, записанных в виде
,
,
…………………….
, (1)
……………………..
.
В соответствии с теорией один из вариантов метода Рунге-Кутта, при известных значениях интегрируемых функций в произвольный момент времени значения этих функций в момент времени рассчитывается по формулам:
,
,
……………………………………….. (2)
,
…………………………………………
,
В уравнениях (2) значения коэффициентов (для ) определяются формулами:
,
,
,
,
Записанные выше алгоритмы расчета обыкновенных дифференциальных уравнений обеспечивает расчет с пятым порядком точности (главный член погрешности имеет точность ).
Решение находится по формуле
,
Здесь , , , .