Параметрическое задание кривых на плоскости и в пространстве. Кривые Безье.

Параметрически заданной кривой называется множество точек M(x,y,z), координаты которых определяются соотношениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), . В векторной форме .

Кривая называется регулярной, если в каждой её точке; т.е. в каждой точке кривой существует касательная, положение которой меняется непрерывно вдоль кривой.

Геометрическим образом функции трех переменных F(x,y,z) служит поверхность. Чтобы определить положение точки на ней, нужны два параметра U и V (например, широта и долгота на поверхности шара).

Кривая Безье (Bezier curve).

Алгоритм независимо получен Пьером Безье и Полем Кастельё в конце 60-х годов для технического проектирования. Применяется в интерактивных системах компьютерной графики для приближенного решения задач на построение кривых по точкам.

Пусть на плоскости или в пространстве задан набор точек-ориентиров . Кривой Безье, определяемой этим набором точек, называется кривая, определяемая уравнением

, , где – число сочетаний из n элементов по i (коэффициент в разложении бинома Ньютона).

Элементарная кубическая кривая Безье для четырёх точек-ориентиров задаётся параметрическим уравнением:

, , (IV.15)

или в матричной записи⁴:

рис. IV.10. Способ

вычерчивания куб. кривой Безье

, (IV.16)

V₂

V₁

рис. IV.11

где , , . (IV.17)

P₁

P₂

носит название базисной матрицы кубической кривой Безье.

Свойства кривой Безье:

 Является гладкой;

 Начинается точно в точке и заканчивается в , касаясь при этом отрезков и ;

 Целиком лежит в выпуклой оболочке, порождаемой массивом точек-ориентиров (рис. IV.11 даёт представление, как создаётся элементарная кривая Безье в программе Adobe Illustrator между двумя точками и двумя их подвижными направляющими – handles);

 Степень функциональных коэффициентов напрямую связана с количеством точек в наборе; при добавлении хотя бы одной новой точки надо пересчитать все коэффициенты; изменение координат одной точки приводит к заметному изменению вида всей кривой;

 Многочлен Безье можно представить как некоторую намагниченную эластичную ленту, закреплённую в точках ; точки-ориентиры представляются магнитами, к которым притягивается эта лента. Несколько точек-ориентиров могут иметь одинаковые координаты, при этом увеличивается вес такой точки, т.е. кривая притягивается ближе к ней.

В практических вычислениях часто оказывается удобным пользоваться кривыми, составленными из элементарных кривых Безье. Определим составную кубическую кривую Безье как объединение элементарных кубических кривых Безье, так что .

Виды сплайнов, применяемых в компьютерной графике.

Сплайн (spline). Термин произошёл от названия гибкой полоски стали, при помощи которой чертёжники проводили через заданные точки плавные кривые. Математическое описание –Шенберг, 1946. Суть: задают координаты небольшого числа опорных точек, через них строят плавные кривые или поверхности.

Рассмотрим представление кривой в декартовых координатах на плоскости. Пусть задан набор точек , i = 0,1…n. Интерполяционным составным кубическим сплайном называется функция S(x), обладающая следующими свойствами:

1. график функции проходит через каждую точку из заданного набора, т.е. S(x_i) = y_i;

2. на каждом из отрезков [x_i, x_i+1], i = 0,1…n-1 функция является многочленом третьей степени.

3. На всём отрезке [x₀, x_n] функция имеет непрерывными первую и вторую производную.

Так как на каждом из отрезков [x_i, x_i+1] сплайн S(x) определяется четырьмя коэффициентами, то для его полного описания на всей области задания необходимо найти 4n коэффициентов. Учёт трёх вышеперечисленных условий даёт систему из 4n-2 линейных алгебраических уравнений, оставшиеся два граничных условия задаются специально, например так: S ^/(x₀) = l₀, S ^/(x_n) = l₁.⁵

Для продолжения описания сплайнов различных видов, используемых в компьютерной графике, вновь вернёмся к параметрическому описанию кривых (в котором, например, очень легко рассматривать кривую, пересекающую саму себя, рис. IV.11).

B-сплайн (basic spline) - кусочно-полиномиальная функция. Можно построить этот сплайн по четырём заданным точкам . При этом элементарная кубическая B-сплайновая кривая определяется векторным параметрическим уравнением:

, , (IV.18)

или в матричной форме:

, где , ,

Построенная подобным образом кривая лежит внутри выпуклой оболочки заданных вершин (тетраэдра), в общем случае не проходя через эти точки (рис. IV.12).

С

V_i-1

оставная кубическая B-сплайновая кривая, определяемая на множестве точек представляет собой объединение n-2 элементарных кубических B-сплайновых кривых, каждая из которых описывается уравнением

,

, , (IV.20)

т.е. кривая строится между двумя точками на основе информации о координатах двух соседних с ними. Полученная кривая имеет непрерывную вторую производную. Удобно, что коэффициенты вычисляются только один раз для каждого сегмента кривой. Представленный способ изменения t называют параметризацией с равноотстоящими целочисленными узлами.

Рациональные B-сплайны – содержат весовые коэффициенты, с помощью которых можно быстро “подправить” уравнение B-сплайновой кривой, не изменяя исходного массива точек. Кривизна этих объектов определяется положением контрольных точек, а положение любой точки поверхности вычисляется по математическим формулам (отсюда и слово «rational»).

По заданному набору точек элементарная рациональная кубическая B-сплайновая кривая определяется уравнением:

, , где (IV.21)

, , , , (IV.22)

а величины ω_i – веса (параметры формы) для каждой точки, величины >0. Если веса равны между собой – случай кубической B-сплайновой кривой. Составная кривая строится также как в случае B-сплайна.

NURBS (nonuniform rational B-spline) – рациональные B-сплайны, заданные на неравномерной сетке по параметру t (отсюда термин “non-uniform” – «неоднородный»). Основные свойства: просты в описании, инвариантны относительно масштабирования, сдвига, вращения и перемещения. Для управления NURBS-объектами используются специальные точки, именуемые контрольными узлами. Все контрольные узлы NURBS-кривой находятся во взаимосвязи, воспринимают перемещения окружающих узлов и занимают таким образом новое положение, обеспечивающее цельность и гладкость поверхности.

Изменяя для NURBS-поверхности положение контрольных узлов и их вес (степень влияния) в процессе анимации легко достигать эффектов, характерных для ткани или кожного покрова животных или иных органических поверхностей.

β-сплайн (Beta-spline) – кривая, построенная на основе однородного кубического B-сплайна, имеющая дополнительные параметры для учета локального наклона и гладкости.

Пусть имеем две элементарные кривые, заданные параметрическими уравнениями и . Для получения составной регулярной кривой потребуем совпадения в общей точке единичных касательных векторов и векторов кривизны. Это будет возможно если:

, , , (IV.23)

где β₁, β₂ – числовые параметры >0. При этом уравнение элементарной кубической β-сплайновой кривой, порожденной наборами точек выглядит в матричном виде так:

, где (IV.24)

, ,

при этом , , . Параметр β₁ носит название параметр скоса, β₂ – параметр натяжения. Эти параметры влияют на форму всей кривой. Если β₁=1, β₂=0, то мы получим кубическую В-сплайновую кривую.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому". Т.е. одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всей кривой.