Обзор методической литературы

1. Е. А. Анискина (учитель математики)/ Статья «Метод решения логарифмических и показательных неравенств с переменным основанием».

Статья взята из приложения к журналу «1 сентября» «Математика», раздел «Преподавание математики». Она раскрывает трудности, возникающие при решении заданий ЕГЭ части С, направлена помочь ученикам с данными трудностями; предлагает метод решения задач С3. Метод построен на правилах, которые необходимо доказать, начиная с простейших и заканчивая правилами решения сложных неравенств, причем параллельно рассматриваются два вида неравенств: показательные и логарифмические. Для наглядности весь теоретический материал записан в таблицу. Также содержит задания из ЕГЭ для самостоятельной работы учащихся.

2. «Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств», часть 1\ С. В. Кириллова, О. К. Огурцова, Н. А. Серова, Егорова;

«Элементарная математика: общие методы решения уравнений и неравенств», часть 2\ С. В. Кириллова, О. К. Огурцова

Методическое пособие, разработанное в помощь учителю математики. Даны виды логарифмических уравнений и неравенств. Разобраны примеры по каждому из предложенных видов.

3. Уравнения в школьном курсе Математике/ А. Н. Бекаревич. – Минск 1968, стр.152 с.

Глава V. Некоторые приемы полного решения трансцендентных уравнений. 1. Показательные и логарифмические уравнения, страница 126

В пособии рассмотрены наиболее важные вопросы методики преподавания уравнений в средней школе. Цель пособия состоит в том, чтобы обратить внимание учителя на наиболее сложные вопросы, связанные с изучением уравнений (в том числе и логарифмических) в школе, и помочь ему преодолеть встречающиеся трудности. В книге приводится специальная система упражнений, способствующая уяснению идеи равносильности, по-новому доказаны основные свойства уравнений. В пособии содержится также материал для внеклассной работы по математике.

Книга предназначена для учителей математики.

4. Мордкович, А. Г. Беседы с учителями математики: учебно-метод. пособие. - 2-е изд., доп. и перераб./ Мордкович, А. Г. - М: ООО «Издатель­ский дом «ОНИКС 21 век», 000 «Издательство «Мир и образова­ние», 2005.-336с.

Формулируются знания и умения ученика по теме, даются методические рекомендации учителю к каждому типу урока, а также приводится список литературы и полезных сайтов.

Анализ теоретического и задачного материала

1. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмические уравнения и неравенства относятся к трансцендентным. Напомним, что логарифмом положительного числа b по основанию а, где , называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получилось b: , где . Исходя из определения логарифма, можно заключить, что при решении логарифмических уравнений (неравенств) необходимо будет учитывать условия существования входящих в них логарифмических выражений и отражать их при нахождении области определения уравнения (неравенства), когда это необходимо. Выделим на конкретных примерах простейшие логарифмические уравнения (неравенства) и подходы к их решению.

А. Уравнение вида и соответствующие ему неравенства , , , , где .

(По определению логарифма)

, где	, где	, где
Решение:
Равносильно уравнению	Равносильно: неравенству при ; системе неравенств при .	Равносильно: системе неравенств при ; 2) неравенству при .

Ключевые задачи.

№343(4).

Ответ:

№355(1)

Ответ: (-2, 25).

№355(4)

Ответ: ( ).

К данному блоку относятся: №343(1-4), №346(2), №378(1), №355, №356(1-3), №359(1,2), №360, №361, №362, №381, №383, 6(стр.112).

В. Уравнения вида и соответствующие ему неравенства , , , , где .

(По свойству логарифмической функции)

, где	, где	, где
Решение:
Равносильно системе которая в свою очередь равносильна одной из следующих систем или	Равносильно: системе неравенств при ; системе неравенств при .	Равносильно: системе неравенств при ; системе неравенств при .

Ключевые задачи.

№340(1).

нет решений

Ответ: нет решений.

№359(4).

нет решений

Ответ: решений нет.

№359(3).

Ответ:

К данному блоку относятся: №340, №378(2), №359(3,4), №382, №395.

С. Уравнение вида и соответствующие ему неравенства , , , .

Решение:
Равносильно системе	Равносильно совокупности систем	Равносильно совокупности систем

Уравнения данного вида в учебнике не представлены.

Пример.

Решите уравнение: .

Решение: Область определения данного уравнения задаётся системой неравенств: На указанной области определения данное уравнение равносильно уравнению , т.к. логарифмическая функция определена и монотонна на положительной части числовой оси. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе

Но условие области определения можно опустить, т.к. оно будет автоматически учитываться в силу присутствия других условий системы. Тогда получаем:

Ответ: .

№365(3).

Ответ: , .

№365(4).

Ответ: ,

К данному блоку относятся: №365(3,4).

D. Уравнения вида и соответствующие ему неравенства , , , .

Решение:
Равносильно системе которая в свою очередь равносильна одной из следующих систем или	Равносильно совокупности систем	Равносильно совокупности систем

Уравнений и неравенств данного вида в учебнике нет.

Пример.

Решите уравнение: .

Решение: Область определения данного уравнения задаётся системой неравенств: На указанной области определения данное уравнение равносильно уравнению , т.к. логарифмическая функция определена и монотонна на положительной части числовой оси. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе

Условие или области определения можно опустить, т.к. оно будет автоматически учитываться в силу равенства . Тогда получаем:

Ответ: .

Пример. Решите неравенство: .

Решение: Область определения данного неравенства задаётся системой неравенств: На указанной области определения данное неравенство равносильно неравенству , если , как основание логарифмической функции , которая монотонно возрастает на своей области определения, или неравенству , если , как основание логарифмической функции , которая монотонно убывает на своей области определения. Таким образом, исходное неравенство равносильно совокупности систем неравенств

Как мы видим, некоторые из условий области определения в соответствующей системе можно опустить, т.к. они будут автоматически учитываться в силу присутствия других неравенств системы. Решение первой системы: . Решение второй системы: .

Ответ: , .