- •Тема 1. Определители.
- •1.Перестановки.
- •2,3.Свойства.
- •4. Теорема (о знаке члена определителя.)
- •5. Понятие определителя произвольного порядка.
- •6.Свойства определителей.
- •Тема 2. Матрицы, ранг матрицы.
- •1.Матрицы
- •2.Ранг матрицы
- •3. Теорема о базисном миноре, теорема о ранге матрицы, теорема об элементарных преобразованиях матрицы.
- •4. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
- •5.Обратная матрица её свойства.
- •Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •1.Системы линейных алгебраических уравнений.
- •2. Основные определения: общее решение, частное решение, совместные и несовместные системы, эквивалентность систем.
- •3. Квадратные системы линейных алгебраических уравнений.
- •4. Теорема Крамера. Критерий совместности систем линейных уравнений общего вида (теорема Кронекера-Капелли).
- •5.Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •6.Базисные и свободные неизвестные.
- •7. Однородные системы. Свойства решений (существование, линейность множества решений).
- •8.Фундаментальная система решений.
- •9.Теорема о числе векторов в фундаментальной системе решений.
- •Тема 4. Линейные пространства.
- •2. Аксиоматика линейного пространства, свойства, вытекающие из определения.
- •3.Примеры линейных пространств.
- •4.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов и их свойства.
- •5.Базис и размерность линейного пространства.
- •6. Конечномерные и бесконечномерные пространства.
- •7.Координаты вектора в данном базисе.
- •8. Матрица перехода от одного базиса к другому, преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
- •9.Подпространство.
- •10. Линейные оболочки, теорема об их размерности.
- •Тема 5. Линейные операторы.
Тема 1. Определители.
1.Перестановки.
Опр. Упорядоченная совокупность чисел наз. перестановкой.
1, 2, …n – натуральная перестановка
Преобразование перестановки, при которой2а элемента меняются местами, наз. транспозицией.
и образ. инверсию, если > при i<j, и создает порядок при < при i<j. Если число инв. четное, то перестановка называется четной. Общее число инв.
2,3.Свойства.
Свойства Перестановок.
1) Общее число перестановок из n элемента есть n!
– n-способов поставить элемент на 1е место.
n(n-1) – max из 2ух элементов => длина элемента n(n-1)(n-2)…1=n!
2) Каждая транспозиция меняет четность перестановок.
1. Транспозиция соседних элементов
а) не влияет на число инв. отношение других элементов.
б) если < получим инв. при перест., > получим порядок при перестановке.
2.
С помощью k+1 транспозиции
С помощью k транспозиции
=> 2k+1- общее число транспозиций => четность перестановок меняется.
3. Все n! перестановки из n чисел могут быть упорядочены так, что каждая последняя отличается от предыдущей на 1, это упорядочение можно начать с любой перестановки
n=2; n!=2 (1;2) (2;1) (2;1) (1;2)
Пусть верно при (n-1). Док. при n:
перест. из n эл.
из n-1(n-1)! перестановка из (n-1) элемента = > по предположению индукции.
– меняем местами
Следствие 1.
n>2 => число четных перестановок = числу нечет.
Упорядочение: четные перестановки -> нечетных перестановок и т.д. n! (n>2) – чет.
Следствие 2.
От перест. из n чисел можно перейти к другой за конечное число транспозиции.
4) Если – перест. с числом инв. =S, то после преобразования ее в натуральную перестановку ее индексные номера образуют перестановку с тем же числом инв.
и (нет инв.)
и (инв.)
4. Теорема (о знаке члена определителя.)
Знак члена определителя совпадает со знаком , где S –число инверсий в перестановке t-число инверсий в перестановке индексов столбцов.
[ ]
Допустим, что четность числа S+t не меняется если в члене определителя (5) поменять местами два любых элемента. Пусть это будут для определенности
(6)
-число инверсий в перестановке
- число инверсий в перестановке
По теореме изменилась на 1, - изменилась на 1
Поэтому числа , являются нечетными.
- число четное, - число четное
-одинаковой четности числа
В произведении (6) расположим в порядке расположения следования строк
(7)
и S+t
[///]
5. Понятие определителя произвольного порядка.
– образ. перест.
Опр. Опред. квад. м. n-го порядка наз. ∑ всевозм. произв. эл. м., взятых по 1му из каждой строки и каждого столбца, причем если эти сомнож. упоряд. по возраст. строк, то это произв. берется со знаком .
– член опред.
– знак члена опред.
n>2=> число полож. членов – числу отриц.
6.Свойства определителей.
1) Опред. треуг. м. равен произвед. диаг. эл.
2) Равноправ. строк и столбцов.
– перест. индексных номеров
(1…n)=> sgn члена опред. не меняется.
3) Если в м. есть нулевая строка(столбец), то detA=0
4) При умнож. строки(столбца) м. на число detA умнож. на это же число.
5) Если в опред. какая-либо строка(столбец) представ. в виде ∑ 2х других, то detA равен ∑ опред.
6) При перест. 2х строк(стол) м. опред. меняет sgn.
7) detA, имеющий 2е= строки = 0
8) Если 1а строка есть лин. комбин. других, то detA=0
9) Если к какой-либое строке +лин. комб. других строк, то detA не меняется.
Опр.