- •1. Стохастическая зависимость. Регрессионная зависимость. Эмпирическая функция регрессии.
- •2. Линейная регрессия.
- •3. Статистический коэффициент корреляции
- •5. Статистический коэффициент корреляции. Условие отсутствия линейной корреляционной связи между св.
- •6. Критерий существования линейной функциональной связи между св
- •7. Критерий совпадения линий регрессии y на X и X на y.
- •8. Статистический коэффициент корреляции как мера тесноты линейной корреляционной связи между случайными величинами.
- •9. Статистическое корреляционное отношение. Оценка статистического корреляционного отношения.
- •10.Условие отсутствия корреляционной связи между св. Функциональная зависимость св.
- •11.Корреляционное отношение как мера тесноты корреляционной связи между св.
- •12.Определение случайного процесса (сп). Законы распределения случайных процессов.
- •13.Основные характеристики случайных процессов
- •14.Классификация случайных процессов.
- •15. Непрерывность случайных процессов.
- •16.Дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •17.Интегрируемость случайного процесса в среднем квадратичном
- •18.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •19.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
- •21. Пуассоновский процесс, его одномерный закон распределения.
- •22.Свойства однородности и отсутствия последствий Пуассоновского процесса(пп).
- •24.Марковский процесс и его свойства.
- •25.Уравнение Колмогорова- Чемпена.
- •26.27. Коэф-т эргодичности. Эргодическая теорема для однородного Марковского процесса.
- •28.Однородный марковский процесс. Распределение времени ожидания выхода системы из исходного состояния.
- •29. Прямая и обратная системы ду Колмогорова.
- •30. Ветвящиеся процессы. Производящие функции.
- •31.Ветвящиеся процессы. Дифф уравнение для производящей функции.
- •32.33.34 Анализ ду для производящей функции ветвящегося процесса. Стремление к стационарному состоянию. Исследование вопроса о числе интегральных кривых, проходящих через точку (0,1).
- •35.Эффекты вырождения и взрыва ветвящегося процесса
- •36, 37 Каноническое разложение случайного процесса
- •38.Спектральное разложение стационарного случайного процесса
16.Дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном
Пусть СП определен на инт. . Пусть --фикс. кочка. --бегающая. .
Опр. производной СП в точке наз. СП , определяемый равенством
для диф-ти СП на инт. необх. и дост., чтобы его мат. ожидание было дифф. ф-ией на кореляц. ф-ия имела вторую смеша-нную производную на диагонали .
Для мат. ож. к дисперсии, и кореляц. ф-ии СП имеет место формула
корреляционная ф-ия
17.Интегрируемость случайного процесса в среднем квадратичном
Пусть СП определен на инт. .
Опр. Интегралом СП на наз. случ. вел. :
,
где
Если верхний предел интегрирования переменный, то результатом интегрирования будет СП, аргументом которого является этот перем. предел, т.е.
,где
имеют место следующие формулы:
,
.
18.Винеровский процесс как математическая модель процесса броуновского движения.
Рассм. частицу, испытывающую хаотические столкновения с молекулами жидкости. В результате она находится в непрерывном беспорядочном движении, называемом Броуновским.
Рассм. одномерное Броуновское движение. Считаем это движение дискретным сначала, а именно положение частицы рассм-ся только в дискретные моменты времени:
кратные
Находясь в точке x, частица независимо от предшествующего поведения переходит с равными вероятностями в одну из соседних точек: или
причем смещение одно из точек для любых точек х. В пределе, когда определенным образом получается непрерывное, случайное блуждание.
Обозначим ч/з положение частицы в момент времени t. Пусть .При дискретном блуждании за время t она совершает шагов. Обозначим ч/з смещение частицы на к-ом шаге, т.е. - это СВ с равными вероятностями . Тогда СП можно представить в виде: ,где -независимо одинаково распр-мые СВ. Рассм. положение частицы в момент времени s и t –кратны .
Очевидно, что в расс-нной модели: и
эти СВ независимы, причем распре-деление вероятностей СВ такое же как распр. вер-ей СВ . Далее
будем предполагать, что этими св-ами бладает и непрер. модель процесса Броуновского движения .
В
18-2
силу этих свойств имеем:
т.е. функция как ф-ия от t явл. лин. однородной ф-ией
, ( )
где --некоторая положительная постоянная, наз. коофф. диффузии.
С учетом найденной дисперсии пред-ставим поведение частицы с течением времени:
с другой стороны
сравнивая эту формулу с ( ) получаем. . В дальнейшем устремляя отношение будем считать постоянным. Рассм. предел .Далее восп-мся централ. предельной. Будем ее применять для СВ:
18-3
В дальнейшем будет предель-ная СВ
и --их распределение одинаково.
В связи с этим можем сделать вывод, что справедливо и для приращения ф-ий. Т.О. при мы получим семейство СВ , где , таких что:
1)
2) приращение , где имеют нормальные распределения вер-ей с мат. ожид. =0 и дисп. =
3)для любых не пересекающихся инт-ов. , приращ. незав-ые СВ.
Опр.СП обладающий св-ами 1)-3) наз. Винеровским процессом.
В случае если его называют также стандартным винеровским процессом.
Св-ва станд-ого Вин-ого процесса:
Рассм. след. СВ: величина максимального смещения вправо частицы n . --момент времени, в кот. траектория достигает в первый раз точки а. (каждому t соответствует одно х.)