- •Глава I. Математический аппарат и основные понятия электродинамики.
- •§1.1. Постулаты специальной теории относительности.
- •§1.2. Четырехмерное пространство и четырехмерная символика.
- •§1.3. Преобразование Лоренца для координат и времени.
- •§1.4. Преобразования Лоренца для скоростей и углов.
- •§1.5. Кинематические «парадоксы» сто.
- •§1.6. Ковариантные формы преобразований Лоренца.
- •§1.7. Четырехмерные векторы.
- •§1.8. Четырехмерные тензоры.
- •§1.9. Четырехмерный вектор-потенциал и тензор напряженности электромагнитного поля.
- •§1.10. Инварианты электромагнитного поля.
- •Глава II. Релятивистская механика.
- •§2.1. Четырехмерные векторы импульса и силы.
- •§2.2. Вариационный принцип Гамильтона в релятивистской механике.
- •§2.3. Вывод силы Лоренца.
- •§2.4. Релятивистские уравнения Гамильтона.
- •§2.5. Законы сохранения и свойства симметрии четырехмерного пространства.
- •§2.6. Тензор спина и малая группа Лоренца.
- •§2.7. Четырехмерный вектор спина.
- •§2.8. Уравнение Баргмана-Мишеля-Телледи.
- •Глава III. Полевая электродинамика.
- •§3.1. I пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме.
- •§3.2. Вариационный принцип Гамильтона в теории поля.
- •§3.3. II пара уравнений Максвелла в дифференциальной форме для "чистого" поля.
- •§3.4. II пара уравнений Максвелла при наличии зарядов и токов.
- •§3.5. I пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.6. II пара уравнений Максвелла в интегральной форме.
- •§3.7. Четырехмерный вектор плотности тока.
- •§3.8. Четырехмерный вектор плотности силы.
- •§3.9. Тензор плотности энергии и импульса частиц.
- •§3.10. Тензор плотности энергии-импульса электромагнитного поля.
- •§3.11. Закон сохранения плотности энергии-импульса в дифференциальной форме.
- •§3.12. Вектор Пойнтинга.
- •§3.13. Тензор натяжений Максвелла.
- •§3.13. Законы сохранения в дифференциальной форме как следствие однородности и изотропности пространства.
- •§3.16. Орбитальный и спиновый угловые моменты электромагнитного поля.
- •Глава IV. Теория частиц и полей.
- •§4.1. Об устойчивости статической системы электрических зарядов.
- •§4.2. Собственная масса замкнутой системы частиц и полей.
- •§4.3. Электромагнитная масса электрона.
§3.12. Вектор Пойнтинга.
Начнем рассмотрение отдельных компонент тензора плотности энергии-импульса с рассмотрения пространственно-временной компоненты . Запишем:
.
Для того, чтобы получить вектор Пойнтинга, проведем суммирование по , положив :
.
Перепишем это выражение следующим образом:
.
Проинтегрируем по , применив в первом слагаемом теорему Остроградского-Гаусса:
,
где – энергия электромагнитного поля. Получаем:
–
закон сохранения энергии системы, состоящей из частиц и полей. Таким образом, физический смысл вектора Пойнтинга – поток энергии электромагнитного поля. – энергия поля, проходящая в единицу времени через единицу площади нормально к ней. Тогда мощность излучения системы можно записать как
.
Таким образом, если , то потоки энергии нет, и получим, что
.
Система ведет себя как консервативная и
.
§3.13. Тензор натяжений Максвелла.
Напомним, что компоненты и имеют вид
.
Запишем закон сохранения плотности энергии-импульса для этих компонент в дифференциальной форме:
.
.
После интегрирования по объему получаем:
.
Так как интеграл по замкнутой поверхности от дельта-функции нулю не равен, то получаем:
.
Можно утверждать, что если – импульс частицы, то – импульс поля. Тогда в левой части имеем полный импульс системы в единицу времени, а в правой – импульс, который теряет система в единицу времени:
–
сила поля, которая "уходит" из системы. Если , то
–
закон сохранения импульса для системы, состоящей из заряженных частиц и магнитного поля.
§3.13. Законы сохранения в дифференциальной форме как следствие однородности и изотропности пространства.
П.п.1. Вариация действия в теории поля.
В релятивистской механике математическая идея ввода законов сохранения состояла в следующем:
.
При преобразованиях координат функция действия изменяется. Если преобразования координат являются бесконечно малыми, то можно найти соответствующую вариацию действия, которая отвечает повороту и/или трансляции системы координат:
.
Для изохронных преобразований:
,
так как для любого момента времени должно выполняться условие , а значит и . Это и является ключевым моментом в определении законов сохранения в релятивистской механике. Истинная траектория только одна, а все остальные траектории, отличающиеся от истинной, образуют множество виртуальных траекторий. Отсюда: мы имеем право положить для какого-то произвольного момента времени. В теории поля мы заменяем функцию Лагранжа плотностью функции Лагранжа:
,
а соответствующие законы сохранения получаем исходя из того, что
.
В теории поля нет собственного времени, а значит необходимо варьировать не только координаты, но и сами функции, от которых зависит плотность функции Лагранжа. Более того, так как действие в таком поле определяется как
,
вариация действия будет иметь вид
.
Вариация функции поля состоит из двух принципиально различных частей: из вариации формы (вида) функции и вариации, связанной с изменением аргумента функции. Так при преобразовании координат некоторая функция перейдет в . Если вариация мала, то вариация будет состоять из двух частей:
,
где – вариация формы функции, – тейлоровская добавка за счет изменения аргумента.
Рассмотрим первое свойство вариации формы функции. Оказывается, что если взять производную от вариации формы функции, то операции взятия вариации и взятия производной можно менять местами:
.
Это несложно показать:
–
что и требовалось показать.
Также можно показать, что вариация от четырехмерного объема имеет вид:
.
Действительно,
,
где – якобиан перехода, который выглядит как
,
где в свою очередь . Взяв эту производную, можно найти якобиан:
.
Тогда вариация от четырехмерного объема имеет вид
.
Запишем вариацию действия:
.
Вычислим отдельно
.
Тогда окончательно для вариации действия имеем
.
Необходимо равенство вариации действия нулю, так как уравнения движения не должны зависеть от преобразований координат.
П.п.2. Закон сохранения тензора плотности энергии-импульса в дифференциальной форме как следствие однородности и изотропности пространства.
Будем считать, система координат не движется, а движется некоторая кривая, описывающая изменение некоторой функции . Все ее точки сдвигаются на один и тот же отрезок:
.
Но с другой стороны
.
Таким образом, вариация формы равна
.
Подставим полученное в формулу для вариации действия:
.
То, что стоит в фигурных скобках можно обозначить за – плотность энергии-импульса. Эта величина совпадает с тензором плотности энергии-импульса чистого электромагнитного поля. Запишем:
.
Чтобы интеграл в определении вариации действия всегда равнялся нулю необходимо, чтобы подынтегральное выражение обращалось в нуль при любых преобразованиях координат, то есть
.
Это закон сохранения плотности энергии-импульса чистого электромагнитного поля в дифференциальной форме. Следует теперь вычислить этот тензор и убедиться, что он совпадает с выражением, которое было получено ранее.
Плотность функции Лагранжа для чистого поля выглядит как
,
как это было показано в параграфе 3.3.
Тогда тензор плотности энергии-импульса будет иметь вид
.
Добавка при подстановке в дифференциальный закон сохранения даст нуль. В конечном итоге имеем:
.
Убедимся, что при подстановке даст нуль:
.
Первый и второй члены равны нулю, так как тензор антисимметричен, а следовательно, конструкция автоматически равняется нулю.
П.п.3. Закон сохранения тензора плотности углового момента чистого электромагнитного поля в дифференциальной форме как следствие изотропности пространства и времени.
Рассмотрим вариацию действия для электромагнитного поля в общем случае:
,
где . Вариация формы выглядит как . В отличии от трансляции здесь полная вариация уже не будет равной нулю. Таким образом, в итоге для вариации действия можно записать (выражение в фигурных скобках)
.
Полная вариация потенциала связана с преобразованием поворота осей координат. Для преобразований поворота и трансляции :
,
.
Подставляем в фигурные скобки в выражении для вариации действия:
,
где – тензор плотности углового момента, – тензор плотности углового орбитального момента, – тензор плотности спинового момента.
Запишем теперь вариацию действия целиком:
.
Так как , то необходимо выполняется . Опять же, так как при поворотах , имеем .
Этот закон сохранения распадается на два независимых закона сохранения:
.
Докажем один из этих законов:
.