39. Свойства нормального распределения
1.
Для
справедливо соотношение:
2.
3.
Если
,
то для любого
4.
Если
,
то
40. Распределение Пирсона
Распределение Пирсона χ2 («хи-квадрат») – распределение случайной величины
где случайные величины X1, X2,…, Xn независимы и имеют одно и тоже распределение N(0,1). При этом число слагаемых, т. е. n, называется «числом степеней свободы» распределения хи-квадрат.
С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.
Распределение «хи-квадрат» используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных.
41. Распределение Стьюдента.
Распределением Стьюдента (или Г-распределением) называется распределение случайной величины
где Z — случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, т. е. N(0;1);
χ2 — независимая от Z случайная величина, имеющая χ2-распределение с k степенями свободы.
Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:
где Г(у) — гамма-функция Эйлера в точке y.
На рисунке показана кривая распределения Стьюдента. Как и стандартная нормальная кривая, кривая Г-распределения симметрична относительно оси ординат, но по сравнению с нормальной более пологая.
При k→ t-распределение приближается к нормальному. Практически уже при k˃30 можно считать t-распределение приближенно нормальным.
Математическое ожидание случайной величины, имеющей t-распределение, в силу симметрии ее кривой распределения равно нулю, а ее дисперсия равна k/(k-2), т. е.
42. Распределение Фишера
Распределением Фишера (или F-распределением) называется распределение случайной величины
где
и
— случайные величины, имеющие
распределение
соответственно с k1
и k2 степенями
свободы.
Плотность вероятности /"-распределения имеет вид:
г
де
Г(y) — гамма-функция Эйлера
в точке y.
На рисунке показаны кривые А-распределения при некоторых значениях числа степеней свободы k1 и k2. При n→ F-распределение приближается к нормальному закону.
43. Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения
Часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин X1, X2,…, Xn, которую называют также многомерной (n-мерной) случайной величиной или случайным вектором X = (X1, X2,…, Xn).
В теоретико-множественной трактовке любая случайная величина Xi (I = 1, 2,…, n) есть функция элементарных событий , входящих в пространство элементарных событий (). Поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий :
(X1, X2,…, Xn) = f()
т. е. каждому элементарному событию ставится в соответствие несколько действительных чисел x1, x2,…, xn, которые приняли случайные величины X1, X2,…, Xn в результате испытания. В этом случае вектор x = (x1, x2,…, xn) называется реализацией случайного вектора X = (X1, X2,…, Xn).
Случайные величины X1, X2,…, Xn, входящие в систему, могут быть как дискретными, так и непрерывными.