2. Использование свойства ограниченности.
Теорема 1. Если для любого х Х выполняются неравенства f (x) A,
g(x) , то на множестве Х уравнение f (x) = g (x) равносильно системе
Иными словами, если , то уравнение f (x) = g (x) на множестве Х равносильно системе
Теорема 2. Пусть требуется решить уравнение
Если на D выполняются неравенства , то на
множестве D уравнение равносильно системе
Пример № 1.
Решите уравнение
cos 2x + cos
Решение:
cos 2x + cos
Последнее уравнение есть уравнение вида f(x) =g(x),
где f(x) = cos 2x, g(x) = 2 – cos
Заметим , что f(x)=1, g(x) =1.
Следовательно, уравнение равносильно системе
х = ,
так как cos тогда и только тогда, когда k , то есть k = 5n.
Ответ: .
Пример № 2.
Решите уравнение
Решение:
Уравнение есть уравнение вида f(x) = g(x), где
f(x) = , g(x) = sin x- cos x.
Заметим, что f(x) R,
g(x) =
R.
Следовательно, уравнение равносильно системе
, так как
Z Z .
Ответ: Z .
Пример № 3.
Решите уравнение
arcsin(x (x + y)) + arcsin(y (x + y)) =
Решение:
Так как arcsin(x (x + y) ) , arcsin( y ( x+y) ) для любых пар , для которых имеет смысл левая часть уравнения , то уравнение равносильно системе
Ответ:
Пример № 4.
Решите уравнение
(1)
Решение:
Воспользуемся неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных величин:
,
,
,
(2)
Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда .
Снова воспользуемся неравенством Коши (теперь для величин ):
,
,
,
,
. (3)
Заметим, что в неравенстве (3) равенство достигается тогда и только тогда, когда
Используя неравенство (3) и учитывая возрастание функции у = 2t , получаем
(4).
Из неравенства (2) и (4) следует, что .
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
Ответ: .
Пример № 5.
Решите уравнение
(1)
Решение:
Воспользуемся неравенством Коши , справедливым для любых неотрицательных чисел a и b. Отметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b.
Имеем
Заметим, что равенство достигается при , т. е. при х = .
1+ для любых пар значений переменных х и у, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда =0.
Получим, что наименьшее значение левой части уравнения (1) равно 8.
Далее
для любых пар , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда
Значит, уравнение (1) равносильно системе уравнений
Ответ: .