2.2. Эволюция механических состояний

Наряду с уравнениями состояния, в механическом способе описания важную роль играют уравнения эволюции. Представим себе некоторую выделенную наблюдаемую (А), значение которой измеряется в несколько последовательных моментов времени:

t = t₁ A = A₁

t = t₂ A = A₂

...... .......

В большинстве случаев, такую последовательность числовых значений наблюдаемой можно описать непрерывной функцией: A = f (t), которая и представляет собой уравнение эволюции. Процессы, для которых это возможно, называются динамическими. Для динамической системы всегда можно построить график уравнения эволюции, представляющий собой траекторию эволюции.

С другой стороны, известны процессы иного типа — стохастические, не допускающие введения такой непрерывной функции и, следовательно, траектории. Примером такого процесса может служить движение электронов в атомах и молекулах.

Для полного (в механическом смысле) описания изменения состояния системы во времени необходимо задать столько уравнений эволюции, сколько имеется наблюдаемых в фундаментальном наборе.

В механическом способе описания уравнения эволюции, обычно, задаются в дифференциальном виде. Примерами могут служить уравнения:

Ньютона (где p_i — импульсы, q_i — координаты, f_i — силы):

Лагранжа (где L — т.н. "функция Лагранжа", представляющая собой разность между кинетической и потенциальной энергиями, L = T – U):

Гамильтона (где Н — т.н. "функция Гамильтона", представляющая собой сумму кинетической и потенциальной энергий, H = T + U):

Кроме дифференциальных уравнений существуют и другие способы описания эволюции.

Принцип наименьшего действия

Согласно этому принципу, любая система в ходе механического движения "накапливает" или "производит" некоторую характеристику, называемую действием, величина которого зависит от способа и характера эволюции. При этом реальная эволюция всегда происходит таким образом, чтобы действие, накопленное или произведенное при переходе системы из начального состояния в конечное, было минимальным из всех возможных вариантов (способов) реализации перехода. Зная зависимость действия от вида траектории (в Галилеевом пространстве состояний), для динамических систем всегда можно точно построить пространственно-временную траекторию реально осуществляющегося движения или вывести в явном виде уравнения движения (например, уравнения Ньютона или Лагранжа).

Принцип суперпозиции

Согласно этому принципу, любой сложный процесс эволюции (Э) может быть представлен в виде суперпозиции (наложения) некоторых элементарных процессов (Э₁, Э₂, …), описание которых известно и отличается особенной простотой:

Э = С₁  Э₁ + С₂  Э₂ + ...

Примерами таких элементарных процессов могут служить:

• трансляции (прямолинейные и равномерные движения),

• вращения,

• гармонические колебания и др.

В этом случае описание процесса эволюции сводится к перечислению элементарных движений {Э₁, Э₂, . . . } и указанию количественного вклада каждого из них (С₁, С₂, …). Суммарное число элементарных движений, необходимых для описания любой системы равно 3N, где N — число частиц в системе.

Элементарные движения могут быть реализованы практически. Для любого из них можно построить реальную систему (физическую модель), эволюция которой может осуществляться только строго определенным образом — в виде данного элементарного движения.

Для решения структурных задач особенно важную роль играют т.н. "циклические движения", в процессе которых частица все время остается внутри небольшого замкнутого объема пространства.

К циклическим относятся следующие элементарные движения:

• возвратно-поступательное,

• вращательное,

• гармоническое колебательное.

Возвратно-поступательное движение реализуется в модели "потенциального ящика". В таком "ящике" частица движется без действия сил, т.е. прямолинейно и равномерно. Достигнув любой стенки, частица отражается от нее, изменяя направление движения на прямо противоположное, но это движение остается по-прежнему равномерным и прямолинейным.

Вращательное движение реализуется в модели "ротатора". В этом случае частица жестко закреплена на постоянном расстоянии от некоторой точки и может только вращаться. Такое вращение всегда равномерно и происходит в одну определенную сторону.

Колебательное движение реализуется в модели "гармонического осциллятора". В этой системе частица движется под действием возвращающей силы, величина которой прямо пропорциональна степени удаления частицы от ее равновесного положения.

Как при любых процессах эволюции, при циклических движениях значения пространственных координат частицы изменяются. Циклические системы, однако, отличаются от прочих тем, что для них можно ввести некоторые специальные наблюдаемые, независимые от времени. Такими инвариантными наблюдаемыми являются амплитуда (А) и частота (). Обычные механические наблюдаемые можно выразить через время и инварианты. Например, для гармонического осциллятора:

х(t) = A  cos (t + _o)

где _o — т.н. "начальная фаза", учитывающая выбор нулевого момента времени.

Произведение  = t называется фазой циклического движения. Фаза показывает количество циклов, пройденных циклической системой с начала движения (измеряется в радианах: один цикл соответствует 2 радиан ).

Другая важная особенность циклических систем связана с замкнутостью их фазовых траекторий. Например, для возвратно-поступательного и колебательного движений фазовые траектории имеют такой вид:

Если медленно изменять размер устройства (т.е. амплитуду), то при этом происходит одновременное изменение энергии системы и частоты циклического движения. Тем не менее, отношение энергии и частоты остается постоянным:

Величина I называется адиабатическим инвариантом. Можно видеть, что значение инварианта численно равно площади, заключенной внутри фазовой траектории.

Например, для частицы в ящике (размер = L) имеет место следующее соотношение:

I ~ p  L = const.

В результате уменьшения размера ящика вдвое, импульс должен увеличиться тоже вдвое. Следовательно, скорость движения частицы увеличится в два раза, а частота и кинетическая энергия — в 4 раза:

' ~ v'/L' ~ (2v)/(L/2) = 4 T' ~ (v' )² ~ (2v)² = 4T

При увеличении размеров ящика результат будет противоположный — и частота, и кинетическая энергия будут уменьшаться пропорционально друг другу. Существование адиабатического инварианта показывает наличие связи между скоростью движения частицы (импульсом, кинетической энергией) и величиной области доступного ей пространства (т.е. размером структуры).

Аналогичная картина наблюдается для всех циклических систем: при уменьшении размера потенциального ящика, длины подвеса маятника, длины колеблющейся струны, радиуса вращения массивного тела и т.д.

Необходимо подчеркнуть, что постоянство адиабатического инварианта сохраняется только при "медленных" изменениях размеров структуры. Под медленностью здесь подразумевается следующее: скорость изменения размеров структуры должна быть во много раз меньше скорости движения частицы внутри структуры. Например, для структур, содержащих в себе электроны, практически любые внешние воздействия будут достаточно медленными, так как скорость движения электронов очень велика.

Заметим, что аналог адиабатического инварианта играет важную роль в квантовой механике — это т.н. "постоянная Планка (h)".

I = h = E/

Например, для модели потенциального ящика будет иметь место соотношение:

I = E/ = h = p  L = m  v  L , откуда следует L = h/mv

Этот результат можно интерпретировать следующим образом: запирание электрона в ящике с размером L приводит к повышению его энергии до E = h. В результате электрон приобрел скорость v (и связанную с ней кинетическую энергию). В квантовой механике такая длина (L = _Б), связанная с энергией частицы соотношением _Б = h/mv, имеет специальное название — "длина волны де Бройля".

Наконец, заметим, что из совокупности циклических систем (например, осцилляторов или ротаторов) можно построить множество других моделей, описывающих более сложные способы эволюции. Примером может служить модель "волны".

Волну можно рассматривать как совокупность осцилляторов, равномерно расположенных в пространстве, фаза которых зависит не только от времени, но и от положения осциллятора в пространстве:

 =   t – k  x

В результате, волну можно охарактеризовать не только амплитудой и частотой, но и дополнительным параметром — волновым вектором (k).