1 2. Преобразование пространственной прямоугольной системы координат – X, y, z в эллипсоидальные геодезические – b, l, h.

Связь пространственных прямоугольных координат Х, У, Z с эллипсоидальными геодезическими координатами B, L, H можно легко установить на основании рис. 3.7.

Проведем через точку Q, не лежащую на поверхности эллипсоида, нормаль Qn, и, обозначая отрезок On через d, будем иметь: Qn=N+H;

d=e² N sin B; Q₀n=(N+H) cos B;

И тогда формулы связи прямоугольных пространственных координат с эллипсоидальными геодезическими координатами можно записать в окончательном виде :

X=(N+H) cos B cos L;

Y=(N+H) cos B sin L; Z=(N+H) sin B-d= [N(1-e²)+H] sin B.

При обратном переходе: от пространственных прямоугольных координат – Х, У, Z к эллипсоидальным геодезическим координатам B, L, H можно получить замкнутую, строгую формулу только для вычисления долготы L

L=arctg

и вспомогательной величины

D=

Вычисление же широты может быть выполнено только методом последовательных приближений по формуле

B= arctg

где

= (3.28)

В первом приближении следует принять , во втором и далее величина должна уже определяться по формуле (3.28), с предварительным вычислением Н по формуле (3.29) и N – по формуле N_i= (i=1, 2), используя широту, полученную в предыдущем приближении. Имея широту, вычисляют высоту:

H=D sec B – N (3.29)

1 3. Топоцентрические системы пространственных прямоугольных координат – xt, yt, zt, и их характиристики.

Предположим, что начало топоцентрической СК располагается в точке , эллипсоидальные геодезические координаты которой В0, L0, H0.

Для установления связи между пространственными декартовыми топоцентрическими горизонтными X^T, Y^T, Z^T и пространственными прямоугольными координатами Х, У, Z сначала перенесем начало координат топоцентрической системы в точку n (рис). Тогда, при неизменности направления осей топоцентрической системы, будем иметь частично преобразованную систему топоцентрических координат X₁^T, Y₁^T, Z₁^T:

=

Теперь осуществим разворот осей только что преобразованной системы топоцентрических координат X₁^T, Y₁^T, Z₁^T вокруг оси nZ^T на угол 90⁰-B₀ , чтобы ось nZ^T совпала с осью вращения эллипсоида. Получим вторично преобразованную систему топоцентрических координат X₂^T, Y₂^T, Z₂^T:

=

После этого перенесем начало координат системы X₂^T, Y₂^T, Z₂^T в центр эллипсоида О на расстояние On =e² N₀ sin B₀ , при этом направление осей остается неизменным.

Очевидно, в этом случае изменится только одна координата Z₂^T , т. е. Наконец, оси координат, лежащие теперь в плоскости экватора, повернем

вокруг оси OZ ( O ) на угол, равный долготе L0 начальной точки Q₀ , а у

абсциссы изменим знак на обратный (так как система ОХУZ – правая, а

система Q₀ X^T, Y^T, Z^T – левая), в результате преобразования получим

P= = =

Обратный переход от X, У, Z к X^T, Y^T, Z^T

Чтобы найти обратные зависимости, решим уравнения (3.49) относительно X^T, Y^T, Z^T. В результате решения получим R=Z+ ; S=(X cos + Y sin ; X^T=R cos S sin ; Y^T=Y cos X sin ; Z^T=R sin S cos ( .