- •5. Частные производные 2-го порядка.
- •4. Теоремы о дифференцировании сложной функции 2ух переменных.
- •6. Экстремум функции 2ух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных.
- •8.Свойства неопределённого интеграла
- •26. Понятие несобственных интегралов II рода. Пример интеграл Дирихле II рода.
- •27. Понятие дифференциального уравнения I порядка, его общего и частного решения
- •7.Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
- •9.Метод замены переменной, метод поднесения под знак дифференциала. Примеры.
- •10.Метод интегрирования по частям. Примеры.
- •31. Структура общего решения линейного однородного
- •32. Метод Эйлера (метод характеристического уравнения)
- •33. Структура общего решения линейного неоднородного
- •34. Метод вариации произвольной постоянной.
- •11.Двукратное интегрирование по частям на примере
- •12.Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен . Примеры.
- •35. Понятие ряда. Классификация рядов. Примеры.
- •36. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида
- •37.Необходимый признак сходимости ряда.
- •38. Признаки сравнения для знакоположительных рядов.
- •42.Признак Лейбница
- •41.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости. Знакочередующиеся ряды Лейбницевского типа
- •40.Интегральный признак Коши для знакоположительных рядов. Пример исследования сходимости обобщенного гармонического ряда
- •28. Ду с разделяющимися переменными. Пример
- •30. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка и уравнения Бернулли.
- •16 Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Примеры.
- •18 Свойства определенного интеграла.
- •17.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.
- •15.Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка. Примеры.
- •20.Теорема о среднем.Её геометр. И эк.Интерпритац.
- •22.Формула Ньютона-Лейбница.
- •23.Замена перемен. В опред.И.Интегрир.По частям
- •1.Понятие фнп.Ее обл определения. Пределы фдп в точке. Непрерывность фдп в точке. Примеры
- •2.Частное приращение фдп. Частная производная фнп по одной из этих переменных. Примеры
- •3. Полное приращения фдп. Дифференциал фнп. Формула приближенных вычислений. Геометр смысл диф-ла.
- •21.Теорема об и с переменным верхним пределом
- •24.Вычисление площадей плоских фигур.
- •29. Геометрическая интерпретация общего решения и решения задачи Коши.
- •14.Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби. Примеры
32. Метод Эйлера (метод характеристического уравнения)
нахождения общего решения ОЛДУ II с постоянными коэффициентами.
Для нахождения ф-ий у1 и у2 Эйлером был предложен метод,
так называемого характеристического уравнения, с помощью
которого ищется у1 и у2, а=> и общее решение уравнения y’’ + py’ + qy = 0 (1)
Суть метода состоит в том что вместо исходного ДУ (1)
решается так называемое характеристическое уравнение которое
получается из ур-я (1) с помощью замены у’’→k2 , y’→k, y→1. т.о
уравнению (1) соответствует характеристическое ур-е k2+pk+q=0 (2)
– квадратное ур-е, корни которого опред. стр-ру ф-ий у1 и у2 в
зависимости от его дискриминанта.
Рассмотрим возможные варианты:
1.Пусть квадратное хар. ур-е имеет D>0, в этом случае
Ур-е (2) имеет два различных действительных корня,
которые мы обозначим k1 и k2 принадлежат R.
у1 =еk1x , y2=ek2x , а уоо=С1еk1x+С2ek2x
2.D=0
При решении квадратного ур-я (2) имеется два действительных
совпадающих корня k1 и k2 ( k1 =k2=k) принадлежит R. в этом случае
у1=kx, y2=xekx
yoo= С1еkx+С2xekx
3.D<0
В этом случае имеется два комплексно сопряженных корня
k1=α+βi и k2= α-βi принадлежат C.
В этом случае у1 =eαxcosβx и у2=eαxsinβx
33. Структура общего решения линейного неоднородного
дифференциального уравнения II порядка.
y’’ + py’ + qy = f(x) (1)
yoн=yoo+yчн ,где yoo – общее решение соотв. однородного ДУ
yчн – какое-то частное решение ур-я (1)
yoн – общее решение (1)
Т. о структуре общего решения неоднородного ЛДУ II
Если yoн это решение (1), то будучи подставленным в него, Обращает это уравнение в тождество.
yoн=yoo+yчн
лдя этого найдем 1-ую и 2-ую производные.
y’oн=y’oo+y’чн
y’’oн=y’’oo+y’’чн
y’’oo+y’’чн+p(y’oo+y’чн)+q(yoo+yчн)=f(x)
преобразуем левую часть равенства.
(y’oo+py’oo+qyoo)+(y’’чн+py’чн+qyчн)=f(x) => f(x)=f(x)
первая скобка обращается в 0 т.к yoo – общее решение соотв. однородного ур-я, а значит будучи подставленным в него, обращает уравнение в тождество т.е 0 вторая скобка = f(x) т.к yчн – частное решение неоднор. ур-я. Т.е будучи подставленным в него обращает (1) в тождество (в f(x))
34. Метод вариации произвольной постоянной.
y’’ + py’ + qy = f(x) (1)
Для решения (1) Ла Гранже и был предложен универсальный метод. суть: он предложил искать решение неоднородного ур-я в том же виде что и решение соотв. однородного ур-я, пологая только что С1 и С2 – не константы, а ф-ии завис. от х. т.к yоо=c1y1+c2y2 ,то структура yон=с1(x)y1+с2(x)y2
фактически для нахождения yон необходимо найти y1 и y2 из решения соотв. однородного ДУ, а затем определить ф-ии с1(x) и с2(x)… y1 и y2 ищем с помощью соотв. Характерестич. Ур-я. Для нахождения с1(x) и с2(x) учтем, что yон – решение(1) Значит будучи подставленным в него, обращает (1) в тождество.
y’он=(с1(x)y1+с2(x)y2)’=(с1(x)y1)’+(с2(x)y2)’=с1’(x)y1+с1(x)y1’+с2’(x)y2+с2(x)y2’ т.к вместо С1 и C2(констант) стали рассматрив. Ф-ии с1(x) и с2(x) то появилась лишняя степень, которой свободно можем распоряжаться: полагаем что с1’(x)y1+ с2’(x)y2=0 оставшееся выражение y’он=с1(x)y1’+с2(x)y2’ диф. еще раз.
y’’он= с1’(x)y1’+с1(x)y1’’+с2’(x)y2’+с2(x)y2’’ подставляем получ выражение в исходное ДУ
с1’(x)y1’+с1(x)y1’’+с2’(x)y2’+с2(x)y2’’+p(с1(x)y1’+с2(x)y2’)+q(с1(x)y1+с2(x)y2)=f(x)
раскрываем скобки и перегруппируем слагаемые с1(x)(y1’’+py1’+qy1)+c2(x)(y2’’+py2’+qy2)+с1’(x)y1’+с2’(x)y2’=f(x)
1-ая скобка обращается в 0 т.к по формуле yоо=c1y1+c2y2 , y1 и y2 – линейное независимое решение соотв. однор. ур-я. Т.О для нахождения неизвестных ф-ий с1(x) и с2(x) необходимо решить систем ДУ
с1’(x)y1’+с2’(x)y2’=f(x)
с1’(x)y1+ с2’(x)y2=0