3. Решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом вырожденного ядра.

Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Ряд Тэйлора. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Определение резольвенты интегрального уравнения. Теорема об оценке погрешности метода вырожденного ядра. Приближение невырожденного ядра вырожденным с помощью ряда Тэйлора и интерполяционного многочлена Лагранжа. Проведение оценки метода.

Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода.

Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода имеет вид:

. (1)

Здесь – заданная функция, котоpую называют ядром интегрального уравнения; - заданная функция, которую называют свободным членом или правой частью интегpального уравнения;

 - заданное число, называемое паpаметpом интегpального уpавнения;

- искомая функция, подлежащая опpеделению.

Однородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

, (2)

очевидно, всегда имеет тривиальное решение . Значения параметра , при которых однородное уравнение (2) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями ядра , а сами нетривиальные решения – собственными функциями ядра. Как известно из теории интегральных уравнений, для интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода возможны только две альтернативы: или 1)неоднородное интегральное уравнение Фредгольма (1) имеет единственное решение при любых правых частях или 2) соответствующее однородное уравнение (2) имеет нетривиальные решения.

Определение. Ядpо называется выpожденным, если оно пpедставляется в виде:

(3)

Здесь функции можно считать линейно независимыми.

Способы приближения невырожденного ядра вырожденным.

В случае когда ядpо интегpального уpавнения является невырожденным и достаточно гладким, его можно аппроксимировать с необходимой точностью вырожденным ядром. С этой целью можно использовать разложение ядра в ряд Тэйлора, разложения ядра по системе ортогональных функций, интерполирование ядра.

При разложении ядра в ряд Тэйлора в точке имеем

Отсюда получаем

.

Аналогично можно использовать разложение в ряд Тэйлора по переменной s или сразу по двум переменным.

Разложение в тригонометрический ряд при

является примером ортогонального разложения. Отсюда получаем

Наконец, аппроксимация ядра интерполяционным многочленом Лагранжа

приводит к вырожденному ядру с функциями

.

Обоснованием для применения метода вырожденного ядра служит следующая теорема.

Теорема. Пусть для двух интегральных уравнений

, (4)

(5)

выполняются следующие условия

1) интегральное уравнение (5) имеет резольвенту ;

2) существуют такие константы , что при всех имеют место неравенства

, (6)

, (7)

(8)

и выполнено условие

. (9)

Тогда уравнение (4) имеет единственное решение и

, (10)

где .

Доказательство. Из (8) следует, что заданное значение параметра не является собственным значением ядра . Значит, интегральное уравнение (5) при любых правых частях имеет единственное решение, которое можно записать в явном виде через резольвенту.

Очевидно, существуют такие непрерывные функции , что интегральное уравнение (4) имеет ограниченное решение. Произвольную непрерывную функцию можно подставить в (4) и найти соответствующую функцию .

Обозначим через верхнюю границу какого-нибудь решения уравнения (4) и перепишем уравнение (4) в виде

. (11)

Тогда для оценки решения можно воспользоваться представлением

.

Имеем или

. Решаем неравенство относительно :

. (12)

Неравенство (11) показывает, что все решения интегрального уравнения (4) с правой частью, не превышающей по модулю N, ограничены одной и той же постоянной. Следовательно, не является собственным значением ядра , то есть уравнение (4) имеет единственное решение при произвольных правых частях.

Из уравнения (11) вычтем уравнение (5):

.

Отсюда для оцениваемой разности следует представление

и оценка

.

Учитывая (12), приходим к оценке (10). Теорема доказана.

При изложении материала за основу взяты

1) страницы 428-433 учебного пособия: Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы: высшей математики, т.2.- Минск: Вышэйшая школа, 1975.

2) страницы 280-285 учебного пособия: Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы:, т.2.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.

3) страницы 612-616 учебного пособия: Березин И.С., Жидков Н.П.Методы вычислений,т.2. ‑:Физматгиз, 1962.