- •«Введение в математический анализ»
- •1) Опр. Числовой последовательностью называется отображение множества натуральных чисел n во множество
- •Основные характеристики числовых последовательностей:
- •4) Опр. Функцией или отображением множества X во множество y, называется правило f по которому, каждому элементу X множества X поставлен в соответствие единственный элемент y множества y.
- •Способы задания функции:
- •5) Функция называется явно заданной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит зависимой переменной. Пример: .
- •Свойства бесконечно малых функций:
- •Алгоритм устранения неопределенности основных функций:
- •15) Опр. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и ее значение равно пределу функции в этой точке:
- •Свойства функции непрерывности в точке:
Способы задания функции:
Аналитический – функция задается формулой вида . Табличный – функция задается таблицей, содержащей значения элемента x и соответствующие ей элементов y.
Графический – соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика функции. Множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а ординаты – соответствующие им значения функции y.
5) Функция называется явно заданной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит зависимой переменной. Пример: .
Функция называется неявно заданной, если она задана уравнением , неразрешенным относительно зависимой переменной.
Ф ункцию называют параметрически заданной, если соответствие между аргументом и функцией задается через вспомогательную переменную, параметр t.
Рассмотрим функцию , между переменными x и y существует взаимно-однозначное соответствие. Тогда соответствие между переменными х и у можно задать в виде . Эта функция называется обратной, по отношению к исходной функции. Очевидно, что функция будет обратной, для функции . Поэтому, обе эти функции называются взаимно-обратными. Графики взаимно-обратной функции изображаются одной и той же прямой, так как связь между переменными одна и та же, различие только в формате записи.
Обозначим, неизвестную переменную обратной функции , через x, а зависимую переменную через y.
Рассмотрим функцию , область значений которой является множество Z. Если на множестве Z определенна функция , то функция называется сложной функцией от х или функцией от функции или композицией функции. Переменная называется промежуточной переменной (аргументом) сложной функции. Сложная функция может иметь несколько промежуточных элементов.
6) Основные или простейшие элементарные функции:
– постоянная функция.
– степенная функция.
– показательная функция.
– логарифмическая функция.
– тригонометрические функции.
– обратные тригонометрические функции.
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций с помощью числа арифметических операций и композиций, называется элементарной функцией.
7) Основные характеристики числовых функций:
Опр. Функция определяемая на множестве Х, симметрично относительно 0, называется четной, если для всех справедливо равенство ; нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат , график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Опр. Функция называется периодической, если существует такое ненулевое число , что для всех x и из области определения функции справедливо равенство: .
Наименьшее число Т из всех числе r называется периодом функции . График периодической функции переходит сам в себя при сдвиге вдоль оси абсцисс на r единиц влево или вправо.
Опр. Функция определенная на множестве Х, называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех справедливо неравенство , если же такого числа не существует, то функция называется неограниченной. График ограниченной функции лежит между горизонтальными прямыми .
Опр. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если для любых , таких что справедливо неравенство . Возрастающие (убывающие), функции называются монотонными функциями.
8) Опр. Число а называется пределом функции при , если для любого положительного числа (каким бы малым оно не было) существует такое положительное число М, что для всех х удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
Опр. Число а называется пределом функции при или в точке , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство: .
Если при стремлении , аргумент принимает лишь значения меньше (больше) , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева (справа ).
Если , то предел функции в точке не существует.
9) Свойства пределов функций:
- Предел алгебраической суммы конечного числа функций, равен алгебраической сумме пределов этих функций.
- Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.
Отсюда, в частности, следует, что постоянный множитель можно выносить за знак предела функции, а предел натуральной степени функции равен этой степени от ее пределов.
- Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен 0.
10) Опр. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
Обр. утв. Если предел функции точки равен 0, то эта функция является бесконечно малой при .
Опр. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство .