Условие принадлежности прямой плоскости

42.Прямая на плоскости. Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0.Оно может быть записано в некоторых специальных видах:а) уравнение с угловым коэффициентом у= kx+b , где k - угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси О_х , а свободный член b - ордината точки пересечения графика и О_у. -отрезок, отсекаемый графиком на оси оу

б) уравнение пучка прямых, проходящих через точку (х₀ ,у₀) у-у₀ = k(х-х₀ )

Уравнение вида

 называется общим уравнением прямой.Угол  , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение   называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением ,то ее угловой коэффициент определяется по формуле .Уравнение   является уравнением прямой, которая проходит через точку   ( ,  ) и имеет угловой коэффициент k.Если прямая проходит через точки  ( ,  ),  ( ,  ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

43.Каноническое уравнение прямойДалее, положение прямой L на плоскости вполне определяется заданием какой-либо ее точки М(х₁,у₁) и вектора S=mi+nj , параллельного L или лежащего на ней. Этот вектор называется направляющим вектором прямой L.Пусть М(х,у) - произвольная точка прямой L. Так как векторы коллинеарны (по условию), то их координаты пропорциональны. уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х₁у₁) и (х₂у₂

45.Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

В математике и ее приложениях приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s (t) по заданной скорости vсводится к решению уравнения sʹ(t) = v (t), где v (t) — заданная функция, а s (t) — искомая функция.

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида  или  ,где   — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной  , штрих означает дифференцирование по  . Число   называется порядком дифференциального уравнения.

46. уравнения с разделяющимися переменными.Дифференциальное уравнение вида или называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.Дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от   и   , в другую часть уравнения - только функции от   ,   . Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части: При делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные   и   , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем дванеопределенных интеграла.

47.Одноро́дным уравнением n-й степени, называется алгебраическое уравнение вида:

Такое уравнение заменой   сводится к алгебраическому уравнению  -ой степени:

48.Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1.

Линейное уравнение можно представить:в общей форме:  и в канонической форме: 

51.Дифференциальные уравнения высших порядков,допускающие понижение порядка

1⁰. Уравнение вида y ⁽ⁿ⁾ = f(x) решается последовательным n-кратным интегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одно произвольное постоянное, а в окончательном результате – n произвольных постоянных

2⁰. Если в уравнение не входит искомая y, то есть она имеет вид   то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую

3⁰. Если в уравнение не входит независимое переменное х, т.е. уравнение имеет вид   то порядок уравнения можно понизить, взяв за новое независимое переменное y, а за неизвестную функцию  неизвестную функцию низшую из производных, входящую в уравнение, т.е. сделав замену 

52. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

Где1  — искомая функция,2  — её  -тая производная,3  — фиксированные числа,4  — заданная функция (когда  , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).