Глава 8 Планирование эксперимента

Задачи планирования эксперимента (ПЭ). Основные понятия ПЭ. Планирование эксперимента как метод получения функции связи. Полный факторный эксперимент (ПФЭ). Статистическая обработка результатов ПФЭ. Оптимизация РЭС методом крутого восхождения. Оптимизация РЭС симплексным методом.

Понятие планирования эксперимента

Методы планирования эксперимента позволяют решать задачи выделения критичных первичных параметров (отсеивающие эксперименты: однофакторный эксперимент, метод случайного баланса), получения математического описания функции связи (ПФЭ), оптимизации РЭС (метод крутого восхождения и симплексный метод).

Выбранный критерий оптимизации должен отвечать ряду требований.

ПФЭ проводится по определенному плану (матрице ПФЭ). Для сокращения объема эксперимента используют дробные реплики.

Статистическая обработка результатов ПФЭ содержит проверку воспроизводимости опыта, оценку значимости коэффициентов модели, проверку адекватности модели.

Следует рассмотреть особенности метода крутого восхождения, симплексного метода оптимизации и последовательность проведения эксперимента для каждого из них.

Мысль о том, что эксперимент можно планировать, восходит к глубокой древности. Наш далекий предок, убедившийся, что острым камнем можно убить даже мамонта, несомненно выдвигал гипотезы, которые после целенаправленной экспериментальной проверки привели к созданию копья, дротика, а затем и лука со стрелами. Он, однако, не пользовался статистическими методами, поэтому остается непонятным, как он вообще выжил и обеспечил тем самым наше существование [13].

В конце 20-х г.г. XX века Рональд Фишер впервые показал целесообразность одновременного варьирования всеми факторами.

В 1951 г. в Англии Бокс и Уилсон опубликовали первую работу по планированию экстремальных экспериментов.

В 1951 г. в Англии Бокс и Уилсон опубликовали первую работу по планированию экстремальных экспериментов.

Идея метода Бокса-Уилсона проста: экспериментатору предлагается ставить последовательно небольшие серии опытов, в каждой из которых одновременно изменяются по определенным правилам все факторы. Серии организуются таким образом, чтобы после математической обработки предыдущей можно было выбрать условия проведения (т. е. спланировать) следующую серию. Так последовательно шаг за шагом достигается область оптимума. Применение ПЭ делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, повышает производительность труда и надежность результатов.

ПЭ позволяет:

– сократить количество опытов;

– найти оптимум;

– получить количественные оценки влияния факторов;

– определить ошибки.

Планирование эксперимента (ПЭ) по ГОСТ 24026–80 – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям. Иначе, ПЭ – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и изучением оптимальных программ проведения экспериментальных исследований.

План эксперимента – совокупность данных, определяющих количество, условия и порядок реализации опытов.

В ПЭ вводится понятие объекта исследования – системы, которая определенным образом реагирует на интересующее исследователя возмущение.

В проектировании ЭС объектом исследования может быть любое РЭУ (рисунок 42).

Рисунок 42 – Объект исследования

Объект исследования должен отвечать двум основным требованиям:

– воспроизводимость (повторяемость опытов);

– управляемость (условие проведения активного эксперимента заключающееся в возможности установки требуемых значений факторов и поддержании их на этом уровне).

Применение методов ПЭ для исследования РЭС основывается на том, что объект исследования (РЭС) можно представит кибернетической моделью – «черным ящиком» (см. рисунок 2), для которого может быть записана функция связи (см. формулу 1.1).

Для объекта исследования (усилителя на рисунке 42) формула 1.1 имеет вид: ,

где , , ,…, .

В ПЭ функция связи или математическая модель объекта исследования – численные характеристики целей исследования (выходы «черного ящика»), выходные параметры РЭУ, параметры оптимизации.

Состояние «черного ящика» определяется набором факторов, переменных величин, влияющих на значение выходного параметра.

По ГОСТ 24026–80 фактор – переменная величина, по предположению влияющая на результат эксперимента.

Для применения методов ПЭ фактор должен быть:

– управляемым (выбрав нужное значение фактора, его можно установить и поддерживать постоянным в течение эксперимента);

– однозначным;

– независимым (не быть функцией другого фактора);

– совместимым в совокупности с другими факторами (т. е. все комбинации факторов осуществимы);

– количественным;

– точность установки (измерения) значения фактора должна быть высока.

Каждый фактор в проводимом эксперименте может принимать одно или несколько значений – уровни факторов. По ГОСТ 24026–80 уровень фактора – фиксированное значение фактора относительно начала отсчета. Может оказаться, что фактор способен принимать бесконечно много значений – непрерывный ряд. Практически принимается, что фактор имеет определенное количество дискретных уровней.

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика» – условия проведения одного опыта.

Если перебрать все возможные наборы уровней факторов, то получим полное множество различных состояний «черного ящика» – ,

где p – количество уровней,

n – количество факторов.

Если эксперимент проводится для 2-х факторов на 2-х уровнях варьирования, то имеем 2² = 4 состояния;

для 3-х факторов на 2-х уровнях – 2³ = 8;

для 3-х факторов на 3-х уровнях – 3³ = 27;

для 5-ти факторов на 5-ти уровнях – 5⁵ = 3125 состояний «черного ящика» или опытов.

В ПЭ вводится понятие «факторное пространство». Факторным называется пространство, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Для «черного ящика» с двумя факторами x₁ , x₂ можно геометрически представить факторное пространство в виде рисунка 43. Здесь факторы изменяются (варьируются) на 2-х уровнях.

Для уменьшения количества опытов необходимо отказаться от экспериментов, которые содержат все возможные опыты. На вопрос: «Сколько опытов надо включить в эксперимент?» дают ответ методы ПЭ.

Известно, что минимальное количество опытов имеем при 2-х уровневом варьировании.

Итак, количество опытов 2ⁿ.

Количество факторов n, участвующих в эксперименте, определяется с помощью отсеивающих экспериментов (однофакторного эксперимента, метода случайного баланса [46, см. лаб. работу № 501].

Рисунок 43 – Поверхность отклика

Так как каждому набору значений факторов соответствует некоторое (определенное) значение параметра выходного параметра y (параметра оптимизации), то имеем некоторую геометрическую поверхность отклика – геометрическое представление функции отклика.

Функция отклика – зависимость математического ожидания отклика от факторов.

Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению зависящая от факторов.

Математическое описание поверхности отклика (математическая модель) – уравнение, связывающее параметр оптимизации y с факторами (уравнение связи, функция отклика, формула 1.1). В ПЭ принимаются следующие предположения о функции отклика (поверхности отклика):

– поверхность отклика – гладкая, непрерывная функция,

– функция имеет единственный экстремум.

Планирование эксперимента как метод получения функции связи

Итак, вопрос о минимизации количества опытов связан с выбором количества уровней варьирования факторов p. В ПЭ принимают p=2, при этом количество опытов N = 2ⁿ .

При выборе подобласти для ПЭ проходят два этапа:

– выбор основного уровня фактора (x_i0);

– выбор интервала варьирования (λ_i).

Введем обозначения:

–   – натуральное значение основного уровня i-го фактора (базовое значение, базовый уровень),

i – номер фактора.

Пример, если R₁= 10 кОм (см. рисунок 42), то кОм,

для R₂ = 3кОм – кОм и т.д.;

–  – натуральное значение верхнего уровня фактора, которое определяется по формуле x_{imax =} x_i0 + λ_i ,

где – натуральное значение интервала варьирования i-го фактора.

В примере (см. рисунок 42) принимается = 20 кОм, тогда

x_1max = 120 кОМ;

–  – натуральное значение нижнего уровня фактора, которое определяется по формуле x_imin = x_i0 - λ_I , в нашем примере x_1min = 80 кОм.

На величину интервала варьирования накладываются естественные ограничения:

– интервал варьирования должен быть не меньше ошибки измерения фактора;

– интервал варьирования должен быть на больше пределов области определения фактора [13].

Выбор интервала варьирования неформализуемый этап, на котором используется следующая априорная информация:

– высокая точность установки значений факторов;

– предположение о кривизне поверхности отклика;

– диапазон возможного изменения факторов.

Для РЭС принимают = (0,1,…,0,3) x_i0 .

В примере (см. рисунок 42) подсчитаем значения трех факторов при заданном базовом уровне (x_i0 ) и интервале варьирования ( ).

Таблица  3.1 – Значения факторов

Параметр	Фактор	Номинальное значение , кОм	Интервал , кОм	Уровни
				, кОм	, кОм
R1	x1	10	2	12	8
R2	x2	3	0,6	3,6	2,4 кОм
R3	x3	100	20	120	80

В ПЭ используются не натуральные, а кодированные значения факторов.

Кодирование факторов (по ГОСТ 24026–80 – «нормализация факторов») проводится по формуле:

Тогда если x₁ = x_1max , то имеем x_i =+1, если x₁ = x_1min , – x_i = –1, x_i – кодированное значение фактора.

В самом простом случае ПЭ позволяет получить математическое описание функции связи (математическую модель объекта исследования – РЭУ) в виде неполного квадратичного полинома:

.

При этом осуществляется варьирование на двух уровнях (p=2), и минимальное количество опытов равно N=2ⁿ , где n – количество наиболее влияющих факторов, включенных в эксперимент после проведения отсеивающих экспериментов.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).

ПФЭ проводится по плану, который называется матрицей ПФЭ, или матрицей плана (таблицы 3.2 и 3.3).

Матрицей плана называют стандартную форму записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, стоки которой отвечают опытам, столбцы – факторам.

Таблица 3.2 – Матрица ПФЭ для двух факторов

j	x1	x2	yj
1	–	–	y1
2	+	–	y2
3	–	+	y3
4	+	+	y4

В матрице ПФЭ знак ”–” (минус) соответствует ”+1”, а ”+” (плюс) ”соответствует ”–1”.

В матрице ПФЭ для двух факторов (n=2) (см. таблицу 3.2) количество уровней варьирования – p=2, количество опытов N=2²=4.

Таблица 3.3 – Матрица ПФЭ для трех факторов

j	x1	x2	x3	yj
1	–	–	–	y1
2	+	–	–	y2
3	–	+	–	y3
4	+	+	–	y4
5	–	–	+	y5
6	+	–	+	y6
7	–	+	+	y7
8	+	+	+	y8

В матрице ПФЭ для трех факторов (n=3) (см. таблицу 3.3) количество уровней варьирования – p=2, количество опытов N=2³=8.

В соответствии с планом проводится ПФЭ. Для примера на рисунке 42 принимаем n=3 и реализуем матрицу ПФЭ по таблице 3.3. Для этого:

– устанавливают значения факторов x₁ , x₂ ,… x_n на уровни по первой строке матрицы (см. таблицу 3.3) (–1, –1,…,–1);

– измеряют первое значение выходного параметра y₁ ;

– устанавливают значения факторов x₁ , x₂ ,… x_n на уровни по второй строке матрицы (см. таблицу 3.3) (+1, –1,…,–1);

– измеряют второе значение выходного параметра y₂ , и так далее до последнего опыта N (y_n).

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности в силу ограниченности экспериментального материала. Постановка повторных (параллельных) опытов может не дать совпадающих результатов из-за ошибки воспроизводимости.

Если предположить, что закон распределения случайной величины y_j – нормальный, то можно найти ее среднее значение при повторных опытах (по каждой строке матрицы).

Статистическая проверка гипотез

I гипотеза –  о воспроизводимости опыта.

Для проверки этой гипотезы проводят серию повторных (параллельных) опытов (дублирование опытов по каждой строке матрицы). Вычисляют среднее значение выходного параметра

,

где l – номер повторного опыта,

– количество повторных, (параллельных) опытов.

Можно вычислить дисперсию каждого - го опыта (по каждой строке матрицы):

.

Дисперсия эксперимента определяется в результате усреднения дисперсий всех опытов:

.

Формулу можно применять, если дисперсии однородны, т. е. нет дисперсий больше остальных.

Гипотеза о равенстве (однородности) дисперсий проверяется по G-критерию Кохрена:

.

По таблице для степеней свободы

, находят .

Если , то гипотеза об однородности дисперсий верна, опыт воспроизводим. Следовательно дисперсии можно усреднять, можно оценить дисперсию эксперимента , но для определенного уровня значимости q.

Уровень значимости q – вероятность совершения ошибки (отклонение верной гипотезы или принятие неверной гипотезы).

Опыт может быть невоспроизводим при:

– наличии неуправляемых, неконтролируемых факторов;

– дрейфе фактора (изменении во времени);

– корреляции факторов.

Вычислив коэффициенты модели по формулам

,

для ,

для ( ), проверяют гипотезу II – значимости коэффициентов по t-критерию Стьюдента.

.

По таблице находим для – числа степеней свободы и уровня значимости q. Количество дублируемых опытов (k) в общем случае равно N.

Если , то коэффициенты модели значимы.

Если , то коэффициенты модели незначимы, т.е. .

Статистическая незначимость коэффициентов модели b_i может быть обусловлена следующими причинами:

– уровень базового значения фактора x_i0 близок к точке частного экстремума по переменной x_i;

– интервал варьирования мал;

– фактор x_i не влияет на выходной параметр y (ошибочно включен в эксперимент);

– велика ошибка эксперимента из-за наличия неуправляемых факторов.

Запишем модель только со значимыми коэффициентами:

.

III гипотеза – адекватности модели.

Проверяется гипотеза о равенстве (однородности) двух дисперсий. Подсчитывается дисперсия адекватности по формуле:

,

где d – количество значимых коэффициентов модели;

 – рассчитанное по модели значение выходного параметра. Для вычисления подставляют в модель со значимыми коэффициентами значения x_i и x_ih соответствующие первой строке матрицы. Для вычисления подставляют в модель со значимыми коэффициентами значения x_i и x_ih соответствующие второй строке матрицы и т. д.

Модель адекватна результатам эксперимента, если выполняется условие

.

 – определяется по таблице для , и уровня значимости q.

Модель неадекватна результатам эксперимента если:

– не подходит форма аппроксимирующего полинома;

– большой интервал варьирования;

– велика ошибка эксперимента из-за наличия неуправляемых факторов или не включены в эксперимент значимые факторы.

Планирование экстремальных экспериментов

Метод крутого восхождения

Объект исследования – РЭС: усилитель, генератор, источник питания.

В качестве примера принимаем усилитель (рисунок 42).

Процедура метода крутого восхождения

1 С центром в исходной точке (базовой, нулевой) проводим ПФЭ для этого:

а) определяем интервал варьирования по каждому фактору и вычисляем уровни варьирования факторов (см. таблица 3.1);

б) строим матрицу ПФЭ N=2ⁿ (см. таблицу 3.3);

в) проводим ПФЭ и измеряем значения выходного параметра y_j;

г) проводим статистическую обработку результатов эксперимента (проверяем I гипотезу о воспроизводимости опыта);

д) вычисляем линейные коэффициенты модели b₀, b₁, b₂, b₃ и записываем уравнение в виде линейного полинома .

Например

Проверяем значимость коэффициентов модели и адекватность модели.

2 Записываем градиент функции отклика:

.

Для приведенного примера: .

3 Поставим задачу нахождения .

Вычисляем произведение по каждому фактору, где – относительная величина интервала варьирования (таблица 3.4).

Таблица 3.4 – Параметры для проведения метода крутого восхождения

Параметр	i=1	i=2	i=3
bi	– 2,0	+ 2,5	+ 0,4
λi	0,2	0,2	0,2
bi λi	– 0,4	+ 0,5	+ 0,08
λiкв	– 0,08	+ 0,1	+ 0,016
Округл. λiкв	– 0,1	+ 0,1	+ 0,02
, кОм	– 1,0	+ 0,3	+ 2

4 Находим и определяем базовый i-й фактор с .

В примере базовый фактор .

Для базового фактора принимаем шаг крутого восхождения .

5 Вычисляем шаг крутого восхождения по остальным факторам по формуле

,

в числителе b_i берется со своим знаком.

Пример:

;

.

Округляем .

Переведем относительную величину шага крутого восхождения в натуральное значение:

.

6 «Идем» в направлении максимума (экстремума) по градиенту.

Для этого нужно провести опыты в новых точках плана.

Сначала проводим «мысленные» опыты. «Мысленные» опыты заключаются в вычислении «предсказанных» значений выходного параметра в определенных точках факторного пространства.

Для этого:

а) подсчитываем значения факторов в «мысленных» опытах по формуле

,

где h = 1, 2, …, f –номер шага крутого восхождения (таблица 3.5);

Таблица 3.5 – «Шаги» крутого восхождения

N+h	Номер «шага» (h)
8+1= 9	1	9	3.3	102
8+2=10	2	8	3,6	104
8+3=11	3	7	3,9	106
8+4=12	4	6	4,2	108
8+5=13	5	5	4,5	110

б) кодируем значения факторов для «мысленных» опытов и заносим в таблицу 3.6:

;

пример:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Таблица 3.6 – Значения кодированных факторов

N+h	x1	x2	x3
8+1	–0,5	0,5	0,1
8+2	–1	1	0,2
8+3	– 1,5	1,5	0,3
8+4	–2	2	0,4
8+5	–2,5	2,5	0,5

в) подставляя кодированные значения факторов в уравнение

,

вычисляем выходной параметр ( , не вычисляют, они есть в ПФЭ).

Подсчитываем , , для модели примера:

;

;

.

7 Сравниваем результаты «мысленных» опытов с результатами эксперимента.

Выбираем , соответствующее (N+h) «мысленному» опыту.

Проверяем на объекте исследования (усилителе) (точку с параметрами ).

Принимаем условия (N+h)-го опыта за центр нового ПФЭ (базовая точка).

Например, для = – кОм; кОм; кОм.

8 Проводим ПФЭ и статистическую обработку результатов. Находим новую модель (с другими коэффициентами) и повторяем движение к оптимуму.

Так как каждый цикл приближает нас к оптимуму, нужно уменьшить шаг , или 0,01.

Движение к оптимуму прекращают, когда все коэффициенты модели окажутся .

Симплексный метод оптимизации

Основной особенностью симплексного метода поиска экстремума является совмещение процессов изучения поверхности отклика и перемещения по ней. Это достигается тем, что эксперименты ставятся только в точках факторного пространства, соответствующих вершинам симплекса.

В основу плана положен не гиперкуб, используемый для ПФЭ, а симплекс – простейшая геометрическая фигура, при заданном количестве факторов.

Что такое симплекс?

n-мерный симплекс – это выпуклая фигура, образованная (n+1)-й точками (вершинами), не принадлежащими одновременно ни одному (n–1)-мерному подпространству n-мерного пространства (X_n).

Для двух факторов x₁ и x₂ (n=2) двумерный симплекс имеет вид треугольника на плоскости (рисунок 44).

Рисунок 44 – Двумерный симплекс с тремя вершинами

Для трех факторов x₁, x₂ и x₃ (n=3) трехмерный симплекс имеет вид треугольной пирамиды (рисунок 45).

Рисунок 45 – Трехмерный симплекс с четырьмя вершинами

Для одного фактора x₁ (n=1) одномерный симплекс имеет вид отрезка на прямой (рисунок 46).

Рисунок 46 – Одномерный симплекс с двумя вершинами

Использование симплекса основано на его свойстве, которое заключается в том, что отбросив одну из вершин с худшим результатом и используя оставшуюся грань, можно получить новый симплекс, добавив одну точку, зеркальную относительно отброшенной. В вершинах симплекса ставят эксперимент, затем точку с минимальным значением выходного параметра (y_j) отбрасывают и строят новый симплекс с новой вершиной – зеркальным отображением отброшенной. Формируется цепочка симплексов, перемещающихся по поверхности отклика в область экстремума (рисунок 47).

Рисунок 47– Движение к оптимуму по поверхности отклика

Для упрощения вычислений принимают условие, что все ребра симплекса равны.

Если одну из вершин симплекса поместить в начало координат, а остальные расположить так, чтобы ребра, выходящие из этой вершины образовывали одинаковые углы с соответствующими осями координат (рисунок 48), то координаты вершин симплекса могут быть представлены матрицей.

Рисунок 48 – Двумерный симплекс с вершиной в начале координат

Матрица координат вершин многомерного симплекса

Если расстояние между вершинами равно 1, то

;

.

Процедура последовательного симплекса

1 Пусть нужно найти ,

2 Задается шаг варьирования по каждому фактору x_i. Пример в таблице 3.7.

Таблица 3.7– Значения факторов для первоначального симплекса

Параметр	xi
R1	x1	10 кОм	2 кОм
R2	x2	3 кОм	0,6 кОм
R3	x3	100 кОм	20 кОм

3 Задается размер симплекса (расстояние между вершинами) регулярный симплекс.

4 Обозначаются вершины симплекса С_j, где j – номер вершины. В примере j=4.

5 Производится ориентация первоначального симплекса. Для этого одну из вершин начального симплекса (С_j0) помещают в начало координат. А именно, за нулевую точку начального симплекса принимают номинальные значения факторов.

.

Строится матрица координат вершин симплекса с первой вершиной в начале координат и значения координат вершин заносятся в таблицу (таблица 3.8).

Таблица 3.8 – Координаты вершин симплекса

Номер вершины	Координаты вершин
	x1	x2	x3	xi	xn
1	0	0	0	0	0
2	p	q	q	q	q
3	q	p	q	q	q
4	q	q	p	q	q
…	…	…	…	…	…
n+1	q	q	q	q	p

Вычисляют координаты остальных вершин начального симплекса (С_j0):

;

;

:

:

Результаты вычислений заносят в таблицу (таблица 3.9).

Таблица 3.9 – Координаты вершин и результаты эксперимента

Вершина симплекса (Сj0)	Номер вершины	Координаты вершин			yj
		x1	x2	x3
С10	1	x11 = x10	x21 = x20	x31 = x30	y1
С20	2	x12	x22	x32	y2
С30	3	x13	x23	x33	y3
С40	4	x14	x24	x34	y4
С1*	1*	x11*	x21*	x31*	y1*
Сj*	j*	x1j*	x2j*	x3j*	yj*

Значения координат вершин вычисляются по формулам. Для примера n=3 имеем:

; ; ;

; ; ;

; ; .

6 Реализуется эксперимент в вершинах симплекса.

Для этого устанавливают значения факторов, соответствующие первой вершине начального симплекса С₁₀, и измеряют значения выходного параметра у₁. Устанавливают значения факторов, соответствующие второй вершине С₂₀, и измеряют у₂.

Рассчитанные для примера значения факторов, соответствующие координатам вершин, приводятся в таблице 3.10.

Таблица 3.10 – Значения факторов в вершинах симплекса

Вершина симплекса (Сj0)	Номер вершины	Координаты вершин			yj
		x1	x2	x3
С10	1	10,00	3,000	100,00	y1(5В)
С20	2	11,90	3,144	104,80	y2(6В)
С30	3	10,48	3,57	104,80	y3(4В)
С40	4	10,48	3,144	119,00	y4(8В)
С3*	3*	11,11	2,653	111,07	y3*(9В)
С1*	1*	12,30	2,99	124.78	y1*(5В)

Расчет координат вершин для n=3:

,

С₂₀ х₁₂= 10+0,95∙2=11,9 кОм;

х₂₂= 3,0+0,24∙0,6=3,144 кОм;

х₃₂= 100+0,24∙20=104,8 кОм;

С₃₀ х₁₃= 10+0,24∙2=10,48 кОм;

х₂₃= 3,0+0,95∙0,6=3,57 кОм;

х₃₃= 100+0,24∙20=104,8 кОм;

С₄₀ х₁₄= 10+0,24∙2=10,48 кОм;

х₂₄= 3,0+0,24∙0,6=3,144 кОм;

х₃₄= 100+0,95∙20=119 кОм.

7 Сравнивают значения выходного параметра и отбрасывают вершину, соответствующую минимальному значению y.

8 Вычисляют координаты новой вершины зеркального отображения наихудшей точки («звездной точки») по формуле

,

где – обозначение координаты j-ой вершины (точки), i=1,2,…,n – номер фактора, j=1,2,…, (n+1) – номер вершины симплекса.

В примере В – минимальное значение, следовательно, зеркальная точка будет . Для нее координаты вершины вычисляются как:

;

;

.

9 Проводят эксперимент в новой вершине С₃* нового симплекса (С₁₀, С₂₀, С₃*, С₄₀) и измеряют значение выходного параметра y₃*.

10 Сравнивают значения выходного параметра нового симплекса (y₁, y₂, y₃*, у₄) и отбрасывают вершины с минимальным y (например y₁=5В). Строим новый симплекс с новой вершиной С₁*.

Для этого вычисляют координаты вершины:

Снова проводят эксперимент в новой вершине С*₁ нового симплекса (С₁*, С₂₀, С₃*, С₄₀) и измеряют значение выходного параметра y₁*.

Сравниваем точки с выходными параметрами y₁*=5, y₂=6, y₃*=9, y₄=8. Отбрасываем вершину с минимальным y₁*=5. И снова определяем новую «звездную точку».

Движение к оптимуму прекращают, если симплекс начинает вращение, т.е. одна и та же вершина встречается более чем в (n+1) последовательных симплексах.

11 В завершение проводят ПФЭ и статистическую обработку результатов. Находят модель. Движение к оптимуму прекращают, когда все коэффициенты модели окажутся .

Литература

Основная

[13, 24, 40].

Дополнительная

[25]; [44, 45].

Контрольные вопросы и задания

1 Раскройте содержание основных задач, решаемых методами планирования эксперимента.

2 Что такое ПФЭ? Раскройте его содержание.

3 Назовите требования к критерию оптимизации.

4 Опишите процедуру проведения ПФЭ.

5 Объясните содержание проверок статистических гипотез.

6 Охарактеризуйте метод крутого восхождения.

7 В чем заключается симплексный метод оптимизации?

Заключение

Методология проектирования ЭС продолжает совершенствоваться, и пути ее развития связаны, во-первых, с внедрением ЭС во все сферы человеческой деятельности, во-вторых, с ростом степени интеграции применяемой элементной базы, и прежде всего микроэлектронной, и в-третьих, с исчезновением четких границ между системотехническим, схемотехническим, конструкторским и технологическим проектированием ЭС [2]. Эти три тенденции не новы: они характерны для развития науки и техники последних двадцати-тридцати лет (по существу, с момента появления микропроцессоров).

Встраивание ЭС в существующие типы конструкций машин, приборов и оборудования (управляемых объектов) ставит перед конструкторами и технологами задачу конструктивной совместимости, которая может быть решена двумя путями. Первый путь предполагает адаптацию конструкции ЭС под управляемые ею объекты. Второй путь заключается в адаптации конструкции управляемых объектов под унифицированную и стандартизованную конструкцию РЭС.

Внедрение ЭС в различные отрасли хозяйства создает предпосылки для межвидовой унификации машин, приборов, оборудования, которая должна удовлетворять следующим требованиям:

– вариантность по физическим и электрическим параметрам;

– гармоничное сочетание различных конструктивных единиц без дополнительных расходов на стыковку;

– вариантность и адаптируемость к различным условиям эксплуатации;

– соответствие международным стандартам;

– технологическая независимость.

Степень интеграции применяемой в ЭС элементной, микроэлектронной базы будет сохранять в последующие годы устойчивую тенденцию к увеличению. Успехи достигнуты в новом направлении развития микроэлектроники – наноэлектронике.

Рост степени интеграции микросхем и, следовательно, рост их функциональной сложности неизбежно приводят к увеличению удельной мощности тепловыделения, электромагнитному взаимовлиянию, плотности компоновки РЭС в целом. Это ставит перед конструкторами и технологами качественно новые задачи по обеспечению надежной работы РЭС и строящихся на них систем. Например, проблему отвода тепла от БИС микропроцессора уже не решить установкой индивидуального вентилятора. Необходимы другие, более эффективные решения, например, применение миникриогенных устройств. С повышением степени интеграции микросхем возрастает сложность «проблемы выводов», решение которой невозможно без совместной работы конструкторов и технологов. Можно привести еще большее количество примеров тех проблем, решение которых потребует в ближайшие годы усилий разработчиков ЭА, в том числе конструкторов и технологов.