4.4Основн теоремы двойственности.
1ая теорема двойственности.
Если
одна из двойственных задач имеет
оптимальный план
*,
то его имееет и 2ая (
*),
причём значения целевой функции на
оптимальных планах двойственных задач
совпадают, т.е. f(
*)=φ(
*).
2ая теорема двойственности.
Для того, чтобы планы 2ух взаимодвойственных задач * и * были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись след 2 группы равенств:
)=0,
j=1,n;
(
-
)=0,
i=1,m.
Следствие 1 из теоремы 2.
Если для некот i сумма < то =0.
Экономич интерпретация.
-запасы_ресурсов, Σ-затраты на пр-во.
Если на оптимальном плане затраты<ресурсов, то его двойственная оценка равна нулю.
Следствие 2 из теоремы 2.
>0 для нек i, тогда = .
Экономич интерпретация.
Если нек вид ресурса имеет полож двойств оценку, то на оптим плане он расходуется полностью. Т.о. двойств оценки характеризуют дефицитность или избыточность ресурсов на предприятии. Нулевой двойственной оценке соотв избыток ресурсов, положительной – дефицит.
Следствие 3.
Если
для нек j
,
то
Экономически это
означает,что двойств. оценка i-того
ресурса
показывает степень чувствительности
max прибыли к изменению
i-того вида ресурса.
Очевидно,что при одинаковом изменении ресурсов изменение max прибыли будет тем больше, чем дольше двойственная оценка ресурса т.е. чем значимее, дефицитнее ресурс для предприятия.
Таким образом, двойств. оценка показывает степень значимости или дефицитности ресурсов на предприятии.
f
(
)
= 80
+ 70
( max )
)=
800
Таким образом
сырьё и физич. труд явл. дефицитными
ресурсами т.к. их двойств. оценки
0. Причём физич. труд явл. более значимым
ресурсом для предприятия чем сырьё т.к.
его двойств. оценка
=9
чем двойств. оценка сырья
=1
пусть сырьё увелич. на 1
=
0;
=0
=
+
+
= 1
=1
,
=0,
=0
=
9
=1;
=0
Об избыточности
3 вида ресурсов т.е. умственного труда
говорит и значение переменной
=30
,экономически это значит,что при
выполнении оптим. плана 30 чел.-часов
умственного труда остаются неиспользованными.
5.1 Постановка и особенности тран. задач Нек.однород. груз нах. в пунктах А1, А2,А3 в количествах 40,10 и 30 ед. (поставщик). Этот груз необходимо доставить в 4 пункта В1,В2,В3,В4 (потребители) в кол-х 15,22,8 и 39 ед. груза (тариф) приведена в табл. (матрица тарифов)
А1 8 10 9 1 Спланировать первозки так, чтобы суммарные затраты были мин.
А2 7 14 1 2
А3 6 2 3 5
В1 В2 В3 В4
Количество ед. груза, перевезённого из пункта i в пункт j
,
i=1,3
j=1,4
|
В1(15) |
В2(2) |
В3(8) |
В4(35) |
А1(40) |
|
|
|
|
А2(10) |
|
|
|
|
А3(30) |
|
|
|
|
Сравним сумм. запасы и сумм. Потребности Сум.запасы= 40+10+30=80
Сум. Потреб.=15+22+8+35=80
Весь груз от поставщиков будет вывезен и все потребности потребителей будут удовлетворены.
Запишем
мат.модель данной задачи. Целевая функция
будет описывать затраты на перевозку
груза
f=
(min)
Ограничение по поставкам озн-т, что весь груз будет вывезен
По потребителям:
i=1,3
j=1,4
В общ виде будем рассм-ть m-пост-в и n-потребителей. Тогда, мат модель тран зад будет иметь вид:
запас
груза у
поставщика
;
потребность
в грузе у
потребителя