- •Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Необходимое и достаточное условие интегрируемости
- •Интегрируемость непрерывных функций
- •Свойства определенного интеграла (об изменении знака, свойства линейности и аддитивности). Найдите…
- •Определенный интеграл
- •Классы интегрируемых функций.
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Формула интегрирования по частям.
- •Замена переменной в определенном интеграле.
- •Площадь криволинейной трапеции.
- •17. Интеграл по симметричному промежутку для четной и нечетной функции
- •18. Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •19. Вычисление длины дуги плоской кривой с помощью определенного интеграла. Вывод формулы.
- •20. Вычисление объема тела по площади поперечного сечения. Объем тела вращения. Вывод формулы.
- •21) Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
- •25,26) Двойные интегралы Определение и основные свойства
- •Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов. Аддитивность.
- •Линейность.
- •Оценка модуля интеграла.
- •27) Вычисление двойного интеграла Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области.
- •28. Полярная система координат и переход к ней под знаком двойного интеграла.
- •34) Необходимый признак сходимости числового ряда (доказать)-
- •37) Лнду (Метод Лагранжа).
- •38) Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка.
- •39) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •40) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка: определение, методы решения.
- •41) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
- •42)Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах: определение, метод решения.
- •Теорема.
- •43) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: определение, решение.
- •44) Дифференциальные уравнения первого порядка: определение, общее решение, теорема единственности, задача Коши. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения…
- •Теорема существования и единственности решения задачи Коши
42)Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах: определение, метод решения.
Уравнение
(1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , т.е.
.
Теорема.
Если функции непрерывны в некоторой односвязной области , то условие
является необходимым и достаточным для того, чтобы выражение
было полным дифференциалом функции .
Если известна функция, полным дифференциалом которой является левая часть уравнения (1), то все решения этого уравнения имеют вид , где - произвольная постоянная.
Чтобы найти функцию нужно воспользоваться равенствами
. (2)
Интегрируя первое из этих равенств по x, определим функцию с точностью до произвольной дифференцируемой функции переменного y:
, (3)
где - произвольная дифференцируемая функция. Функция , такая что . Дифференцируя (3) по y, с учетом второго равенства из (2) получаем уравнение для определения :
.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение.
Так как
во всех точках полуплоскости , то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию такую, что
. (4)
Проинтегрировав первое равенство из (4) по x, получим:
.
Для нахождения продифференцируем по y полученное соотношение и подставим во второе равенство (4):
.
Тогда откуда, . Значит .
Решение данного уравнения запишется в виде:
.
Для интегрирования уравнений вида (1) иногда применяют метод, состоящий в выделении полных дифференциалов из разных групп слагаемых, стоящих в левой части уравнения. Для выделения полных дифференциалов используют формулы:
43) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: определение, решение.
Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:
где p(x) и h(y) − непрерывные функции. Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):
Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения. Обозначив , запишем уравнение в форме:
Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:
где C − постоянная интегрирования. Вычисляя интегралы, получаем выражение
описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение .
Решение.
В данном случае p(x) = 1 и h(y) = y(y +2). Разделим уравнение на h(y) и перенесем dx в правую часть:
Заметим, что при делении мы могли потерять решения y = 0 и y = −2 в случае когда h(y) равно нулю. Действительно, убедимся, что y = 0 является решением данного дифференциального уравнения. Пусть
Подставляя это в уравнение, получаем: 0 = 0. Следовательно, y = 0 будет являться одним из решений. Аналогично можно проверить, что y = −2 также является решением уравнения. Вернемся обратно к дифференциальному уравнению и проинтегрируем его:
Интеграл в левой части можно вычислить методом неопределенных коэффициентов:
Таким образом, мы получаем следующее разложение рациональной дроби в подыинтегральном выражении:
Следовательно,
Переименуем константу: 2C = C1. В итоге, окончательное решение уравнения записывается в виде:
Общее решение здесь выражено в неявном виде. В данном примере мы можем преобразовать его и получить ответ в явной форме в виде функции y = f(x,C1), где C1 − некоторая константа. Однако это можно сделать не для всех дифференциальных уравнений.