§ 17.2. Интерполяционная формула Ньютона для неравномерной сетки

Пусть х  [a, b]. Построим первую разделенную разность

Откуда находим

f(х) = f(х₀) + (х  х₀)f(х,х₀).

Построим вторую разделенную разность

и выразим из нее f(х,х₀):^:

f(х,х₀) = f(х₀,х₁) + (х  х₁)f(х,х₀,х₁).

Подставим f(х,х₀) в выражение для f(х):

Аналогично привлекаем следующие узлы интерполяции для построения интерполяционной функции.

После использования всех узлов интерполяции:

f(х) = f(х₀) + (х  х₀)f(х₀,х₁) + (х  х₀) (х  х₁)f(х₀,х₁,х₂)+… +

+ (х  х₀) … (х  х_n1)f(х₀,…,х_n) + (х  х₀) … (х  х_n)f(х, х₀,…,х_n) =

=P_n(x) + R_n(x).

Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что

f(х_k) = y_k=P_n(x_k), k=0,1,…,n.

Погрешность интерполяции

R_n(x) = (х  х₀) … (х  х_n)f(х, х₀,…,х_n).

Более эффективное вычисление значения функции по интерполяционной формуле Ньютона можно получить, если преобразовать ее к такому виду:

f(х) = f(х₀) + (х  х₀)(f(х₀,х₁) + (х  х₁)(f(х₀,х₁,х₂)+… +

+ (х  х_n2)(f(х₀,…,х_n1) + (х  х_n1)f( х₀,…,х_n)))…).

Интерполяционная формула Ньютона позволяет легко наращивать число узлов интерполяции, требуя при этом вычисления лишь дополнительных слагаемых. Например, добавление узла х_п+1 приведет к вычислению слагаемого

(х  х₀) … (х  х_n)f(х₀, х₁,…,х_n).

§ 17.3. Интерполяция с кратными узлами

Рассмотрим задачу полиномиальной интерполяции функции f(x) в более общей постановке.

Пусть на промежутке [a, b] расположены т +1 несовпадающих узлов х₀, х₁,.., х_т, и пусть в этих точках известны значения у₀=f(х₀), у₁=f(х₁),..., y_m=f(x_m) данной функции, а также некоторые ее производные (максимальный порядок производных в разных узлах различен; в каких-то узлах производные могут быть вовсе неизвестны). Такие узлы будем называть кратными узлами. Конкретнее, будем считать, что заданы:

в узле х₀ значения

в узле х₁ значения (17.6)

…………………………………..

в узле х_т значения ;

тогда кратность узла х₀ считается равной k₀, узла х₁ — k₁, ..., узла х_т — k_m.

Предполагая, что суммарная кратность узлов есть

k₀ + k₁+... + k_m=n + 1, (17.7)

ставим задачу построения многочлена Н_n(х) степени п (не выше п), такого, что

(17.8)

где m>0, — заданные через выражения (17.6) значения функции f(x) и ее производных, и по определению считается Многочлен Н_п(х) будем называть интерполяционным многочленом Эрмшпа, а совокупность условий (17.8) —условиями эрмитовой интерполяции.

Формально можно считать, что нахождение такого многочлена состоит в том, чтобы однозначно определить n + 1 коэффициентов а₀, а₁ ..., а_n его канонического представления

H_n(x) = a₀ + a₁x+ …+ a_nxⁿ (17.9)

из условий (17.8). В силу предположения (17.7), совокупность требований (17.8) можно рассматривать как систему из п + 1 уравнения относительно п + 1 неизвестного — коэффициентов многочлена ((17.9).

Можно доказать существование и единственность многочлена Н_п(х), удовлетворяющего условиям эрмитовой интерполяции. Выявление общего вида интерполяционных многочленов Эрмита Н_п(х) представляет непростую задачу и требует привлечения определенных сведений из теории функций комплексной переменной. Рассмотрим одну из возможных процедур фактического построения таких многочленов, не требующую знания их общего вида.

Пусть L_m(x) — интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по данным т + 1 значениям f(х_k) = y_k, k = 0,1,..., т. Как и в лекции 16, будем пользоваться обозначением . Так как по условию число т заведомо не превосходит n, то по теореме о делении многочлена с остатком искомый многочлен Эрмита H_n(x) можно представить в виде

H_n(x)= L_m(x) + H_n(m+1)(x) _m+1(x) (17.10)

где H_n(m+1)(x) — некоторый неизвестный пока многочлен степени п  т 1.

Для построения многочлена H_n(m+1)(x) будем привлекать информацию о производных данной функции, т.е. равенства в тех узлах х_i где первые производные, в соответствий с (17.6), заданы/

Продифференцировав равенство (17.10), имеем

. (17.11)

Так как _m+1(x_i) = О, то в тех узлах x_i, где по условию эрмитовой интерполяции справедливо можно записать

.

Отсюда выражаем значения многочлена H_n(m+1)(x) узлах:

Правая часть этого равенства может быть вычислена; обозначим ее через z'_i. Таким образом, в ряде узлов x_i, известны значения многочлена H_n(m+1)(x_i) = z'_i, по которым этот многочлен однозначно восстанавливается обычной лагранжевой интерполяцией, если в условиях (17.6) содержится только производные порядка выше первого. Если же в исходной информации (17.6) имеются значения производных более высокого порядка, чем первый, то для восстановления многочлена H_n(m+1)(x_i) ставится задача эрмитовой же интерполяции, для чего, наряду с полученными его значениями z'_i, находят значения его производных путем дифференцирования равенства (17.11) (возможно неоднократного, в зависимости от максимального порядка заданных производных функцииЭта процедура построения интерполяционных многочленов Эрмита все более низких степеней продолжается до исчерпывания всей информации (17.8) о функции и ее производных.