§ 18.3. О многочленах наилучших равномерных приближений

Резюмируя исследования предыдущего параграфа, в частности, анализируя неравенство (18.3), можно хотя бы частично ответить на вопрос о сходимости последовательности интерполяционных многочленов Лагранжа L_n(x) к функции f(x) на отрезке [а, b]. Для которой они построены:

если функция f(x) бесконечно дифференцируема на [а, b] и в качестве узлов интерполяции берутся корни многочленов Чебышева (приведенные к отрезку [а, b], то

Чебышевской нормой функции f(x) в пространстве С[а, b] непрерывных на [а, b] функций называется

Для достаточно гладких функций f(x) при специальном расположении узлов интерполяции последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа L_n(x) (построенных по точным значениям функции f(x) сходится к f(x) по норме Чебышева; другими словами, имеет место равномерная сходимость последовательности L_n(x) (к f x).

Обобщением установленного факта для непрерывных (не обязательно дифференцируемых) функций и произвольных (не обязательно интерполяционных) многочленов является широко известная в математическом анализе теорема.

Теорема 18.1 (Вейерштрасса). Для любой непрерывной на [а, b] функции f(x) найдется такой многочлен Q_n(x), что

Как следует из теоремы Вейерштрасса, если отказаться от того, чтобы аппроксимирующий функцию многочлен Q_n(x) степени п был интерполяционным, от f(x) достаточно потребовать непрерывность на [а, b], чтобы за счет повышения степени многочдена при надлежащем подборе его коэффициентов величина чебышевской нормы могла быть сделанной сколь угодно малой, иначе, чтобы качество аппроксимации функции f(x) многочленом Q_n(x) на отрезке [а, b] было сколь угодно хорошим в смысле чебышевской метрики.

Если степень п аппроксимирующего f(x) многочлена Q_n(x) зафиксировать и распоряжаться только его коэффициентами, то в общем случае величину нельзя сделать сколь угодно малой. Однако доказано, что для любой функции f(x)С[а, b] существует единственный такой многочлен Q_n(x), который из всех многочленов степени и наилучшим образом аппроксимирует на [а, b] функцию f(x), минимизируя максимальное расстояние между f(x) и Q_n(x). Этот многочлен, т.е. многочлен , такой, что

называется многочленом наилучшего равномерного приближения для f(x) на [а, b] или ее чебышевским приближением.

К сожалению, неизвестны ни общий вид многочленов наилучших равномерных приближений, ни способы их построения. Имеются лишь некоторые методики построения многочленов, близких к наилучшим равномерным, а также способы построения чебышевских приближений невысокого порядка для нескольких весьма узких классов функций. Последние существенно опираются на приведенную теорему о чебышевском альтернансе, что демонстрируется в следующих двух простейших случаях.

§ 18.3. Простейшая обработка эмпирических данных

Предположим, что между независимой переменной х и зависимой переменной у имеется некая неизвестная функциональная связь у = f(x). Эта функция задана таблично

x	x0	x1	…	xn
y	y0	y1	…	yn

приближенных значений у_i = f(x_i), получаемых в ходе наблюдений или экспериментов. Требуется дать приближенное аналитическое описание этой связи, т.е. подобрать функцию (x) такую, которая аппроксимировала бы на отрезке [x₀, x_n] заданную отдельными приближенными значениями у_i функцию f(x_i).

Для решения этой задачи заведомо неудачным является интерполяционный подход хотя бы потому, что функция (x) такая, что (x_i) = у_i (при всех i{0,1,..., …, n}), будет мало похожа на искомую f(x_i), поскольку в ней отразятся все ошибки экспериментальных данных. Уже это заставляет отказаться от идеи интерполяции и находить функцию (x) такую, чтобы она хорошо отражала «в среднем» зависимость между х и у.

Конкретнее, из каких-либо соображений (аналитических, графических или иных) аппроксимирующая f(x) функция берется из определенного т-параметрического семейства функций, и ее параметры подбираются так, чтобы сумма квадратов отклонений вычисляемых значений (x_i) от заданных приближенных значений у_i была минимальной. Такая функция (т.е. при таком оптимальном наборе параметров) будет наилучшей аппроксимацией f(x) среди функций выбранного семейства в смысле метода наименьших квадратов. Ясно, что число данных приближенных значений y_i в таблице должно быть не меньшим, чем число параметров в подбираемой зависимости (x); как правило, считается, что п >> т.

Итак, согласно МНК, задаем семейство у = (х,а₁,а₂,...,а_т) и ищем значения параметров а₁, а₂ ,... , а_т, решая экстремальную задачу

Oоптимальный набор параметров может быть найден из системы уравнений

(18.4)

представляющей необходимые условия экстремума функции Ф(а₁, а₂,..., а_т), в силу ее специфики, являющиеся и достаточными условиями ее минимума.

Если функция (х,а₁,а₂,...,а_т) есть линейная функция относительно своих параметров а₁, а₂,..., а_т, то система (18.4) тоже будет линейной; в общем случае (18.4) — нелинейная система, что влечет за собой определенные трудности при ее решении. Спасительным в последней ситуации является тот факт, что обычно при задании семейств функций, аппроксимирующих реальные зависимости, число параметров берется небольшим 2 или 3, причем какие-то из этих параметров могут входить линейным образом.

В зависимости от характера табличных данных, изучаемого с помощью их изображения в соответствующей системе координат или с помощью некоторых прикидочных расчетов (см., например, [32, 36]), при обработке результатов экспериментов часто используют те или иные из следующих двухпараметрических семейств функций:

y = ax + b, y = a + blnx (y = a + blgx),

y = ax^b, y = ae^bx (y = a10^bx),

реже применяются трехпараметрические семейства

у = ах² +bх + с, у = ах^b +с, y = ae^bx+c ;

при изучении периодических явлений применяют тригонометрические функции.

Заметим, что вместо того, чтобы решать нелинейные системы, получающиеся из (3.4) при поиске параметров конкретных семейств функций, когда эти параметры входят туда нелинейным образом, можно попытаться сначала линеаризовать подбираемую зависимость.

6