Непрерывные группы преобразований
Покажите, что множество проективных преобразований прямой (множество дробно-линейных преобразований одной переменной)
,
образует группу:
1. Покажите, что композиция двух таких преобразований даёт преобразование такого же вида, найдите закон композиции параметров.
2. Для трёх таких преобразований, выполняемых последовательно, докажите ассоциативность.
3. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
4. Покажите, что обратное преобразование также имеет вид дробно-линейного.
Покажите, что множество преобразований вида
образует группу:
1. Покажите, что
композиция двух таких преобразований
даёт преобразование такого же вида,
найдите закон композиции
параметров.
2. Для трёх таких преобразований, выполняемых последовательно, докажите ассоциативность.
3. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
4. Покажите, что обратное преобразование имеет такой же вид и найдите параметр обратного преобразования.
Покажите, что множество преобразований вида
образует группу:
1. Покажите, что композиция двух таких преобразований даёт преобразование такого же вида, найдите закон композиции параметров.
2. Для трёх таких преобразований, выполняемых последовательно, докажите ассоциативность.
3. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
4. Покажите, что обратное преобразование имеет такой же вид и найдите параметр обратного преобразования.
Покажите, что множество преобразований вида
(здесь
параметр)
образует группу:
1. Покажите, что
композиция двух таких преобразований
даёт преобразование такого же вида,
найдите закон композиции параметров
.
2. Для трёх таких преобразований, выполняемых последовательно, докажите ассоциативность.
3. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
4. Покажите, что обратное преобразование имеет такой же вид и найдите параметр обратного преобразования.
Покажите, что множество преобразований вида
(здесь
параметр)
образует группу:
1. Покажите, что
композиция двух таких преобразований
даёт преобразование такого же вида,
найдите закон композиции параметров
.
2. Для трёх таких преобразований, выполняемых последовательно, докажите ассоциативность.
3. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
4. Покажите, что обратное преобразование имеет такой же вид и найдите параметр обратного преобразования.
Покажите, что множество преобразований вида
(здесь параметр) образует группу:
1. Покажите, что композиция двух таких преобразований даёт преобразование такого же вида, найдите закон композиции параметров .
2. Для трёх таких преобразований, выполняемых последовательно, докажите ассоциативность.
3. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
4. Покажите, что обратное преобразование имеет такой же вид и найдите параметр обратного преобразования.
Докажите, что линейные преобразования двух вещественных переменных вида
,
образуют группу.
1. Покажите, что композиция двух линейных преобразований даёт линейное преобразование, найдите закон композиции параметров.
2. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
3. Укажите, что является обратным преобразованием.
4. Определите количество параметров группы.
Докажите, что линейные неоднородные преобразования двух вещественных переменных вида
,
образуют группу.
1. Покажите, что композиция двух линейных неоднородных преобразований даёт линейное неоднородное преобразование, найдите закон композиции параметров.
2. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
3. Укажите, что является обратным преобразованием.
4. Определите количество параметров группы.
Покажите, что множество всех линейных ортогональных преобразований трёх переменных
,
то есть преобразований,
матрица которых ортогональна:
,
образует группу.
1. Покажите, что композиция двух ортогональных преобразований даёт ортогональное преобразование.
2. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
3. Покажите, что обратное преобразование также является ортогональным.
4. Рассматривая бесконечно малые преобразования, определите количество параметров группы.
Покажите, что множество всех линейных ортогональных унимодулярных (специальных) преобразований трёх переменных
,
то есть преобразований,
матрица которых ортогональна (
),
и унимодулярна (
)
образует группу.
1. Покажите, что композиция двух ортогональных и унимодулярных преобразований даёт ортогональное и унимодулярное преобразование.
2. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
3. Покажите, что обратное преобразование также является ортогональным и унимодулярным.
4. Рассматривая бесконечно малые преобразования, определите количество параметров группы.
Покажите, что множество всех специальных ортогональных преобразований четырёх переменных
,
то есть преобразований, матрица которых ортогональна ( ) и унимодулярна ( ), образует группу.
1. Покажите, что композиция двух ортогональных преобразований даёт ортогональное преобразование.
2. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
3. Покажите, что обратное преобразование также является ортогональным.
4. Рассматривая бесконечно малые преобразования, определите количество параметров группы.
Покажите, что множество всех линейных унитарных преобразований двух комплексных переменных
,
то есть преобразований,
матрица которых унитарна:
,
образует группу.
1. Покажите, что композиция двух унитарных преобразований даёт унитарное преобразование.
2. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
3. Покажите, что обратное преобразование также является унитарным.
4. Рассматривая бесконечно малые преобразования, определите количество параметров группы.
Покажите, что множество всех линейных унитарных унимодулярных преобразований двух комплексных переменных
,
то есть преобразований, матрица которых унитарна: и имеет равный единице детерминант, образует группу.
1. Покажите, что композиция двух унитарных унимодулярных преобразований даёт унитарное унимодулярное преобразование.
2. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
3. Покажите, что обратное преобразование также является унитарным и унимодулярным.
4. Рассматривая бесконечно малые преобразования, определите количество параметров группы.
Покажите, что множество всех линейных унитарных преобразований трёх комплексных переменных
,
то есть преобразований, матрица которых унитарна: , образует группу.
1. Покажите, что композиция двух унитарных преобразований даёт унитарное преобразование.
2. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
3. Покажите, что обратное преобразование также является унитарным.
4. Рассматривая бесконечно малые преобразования, определите количество параметров группы.
Покажите, что множество всех линейных унитарных унимодулярных преобразований трёх комплексных переменных
,
то есть преобразований, матрица которых унитарна: и имеет равный единице детерминант, образует группу.
1. Покажите, что композиция двух унитарных унимодулярных преобразований даёт унитарное унимодулярное преобразование.
2. Покажите наличие среди таких преобразований «единичного элемента».
3. Покажите, что обратное преобразование также является унитарным и унимодулярным.
4. Рассматривая бесконечно малые преобразования, определите количество параметров группы.