- •1. Понятие реш задач мат программирования. Постановка задач линейного программирования. Примеры. 1.
- •2 . Основные формы задача лп. Правило сведения злп к канон форме. Геометр интерпр злп. Понятие угловой точки мн-ва
- •3. Критерий угловой точки множества.
- •4. Определение базиса угловой точки. Невырожденные угловые точки. Примеры.
- •5. Связь между переменными злп.
- •7. Построение симплекс-таблицы. Достаточное условие оптимизации в задаче лп. Достаточное условие неразрешимости задачи лп.
- •8. Итерация симплекс-метода.
- •9. Обоснование конечности симплекс-алгоритма.
- •10. Обоснование непустоты множества планов в злп. Пример.
- •11.Нахождение базиса угловой точки. Пример. Св-во решений злп.
- •12. Свой-ва решений злп.
- •13. Постановка тз. Построение плана перевозок методом северо-западного угла.
- •14.Определение закрытой модели тз. Критерий существования решения тз.
- •Замечание Транспортная задача, для которой выполняется условие (1) называется закрытой, в противном случае – открытой.
- •15.Исследование множества клеток транспортной таблицы.
- •16.Достаточное условие минимальности стоимости перевозок
- •17. Определения выпуклого множества, выпуклой функции. Свойства выпуклых множеств. Сумма выпуклых функций. Свойство Лебега выпуклых функций. Свойство неотрицательности остатка выпуклой функции.
- •18. Теорема о точках минимума выпуклой функции. Теорема о стационарной точке выпуклой функции.
- •20.Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.
- •21.Метод исключения решения задачи на усл минимум. Пример.
- •23.Классич правило мн л в задаче опт-ции с огранич типа равенств. Необходим условия первого и второго порядка в задаче опт-ции типа равенств.
- •24.Достат условия экстремума в задаче опт-ции с ограничениями типа равенств.
- •25. Задача проектирования на выпуклое и замкнутое множество. Свойства проекции. Примеры.
- •27. Основные определения в задаче одномерной минимизации. Примеры.
- •Пример . Множ-во решений задачи min-ции f(X)
- •28.Метод деления отрезка пополам решения задачи одномерной минимизации.
- •29.Метод золотого сечения.
- •30.Метод ломаных. Обоснование и алгоритм. Пример.
- •31.Обоснование сходимости метода ломаных решения задачи одомерной минимизации
- •33. Алгоритм метода условного градиента
- •Теорема3
- •35. Сходимостсь метода скорейшого спуска
- •36. Постановка задачи вариационного исчисления. Пр.
- •Определим множество:
- •Замечание
- •37. Метод вариаций лагранжа Пусть в задаче , где и исследуется на минимум кривая , тогда все допустимые кривые X(t), из множества X можно представить в виде:
- •38. Уравнение Эйлера.
- •39. Случай интегрируемости ур-ния Эйлера. Пример.
- •40. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.
- •41. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и нефиксированным отрезком интегрирования.
- •42. Задача вариационного исчисления с движущимся по кривой коцом.
- •43. Примеры задач динамического программирования, их особенности.
- •44. Принципы динам програм и функцон ур-ния Беллмана.
- •45. Постановка задачи оптимального быстродействия.
- •46 Достат условия оптимальности для линейной задачи оптимального быстродействия (зоб).
- •47. Пример решения задач оптимального быстродействия.
38. Уравнение Эйлера.
Лемма. Если рав-во выполнено для некоторой непрерывной ф-ии и всех непрерывных ф-ий , удовлет условию , то на . Док-во.Пусть . Для ф-ии , кот.удовлетворяет условиям леммы, рассмотрим .(1). Вместо в (1) подставим . Тогда , т.к. -непрерывная ф-ия. Сл. Если -непрерывная ф-ия, то . Док-во. по условиям леммы. Теор. Если кривая доставляет слабый locmin в простейшей ЗВИ, то на ней выполнено ДУ Эйлера (2) с краевыми условиями (3). Док-во. Если кривая доставляет слабый locmin ПЗВИ, то ,где , Рассмотрим
Тогда
Используя следствие к лемме получим (4). Уравнение (4) называется интегр.уравн.Эйлера, его решение называется экстремалью. Перепишем (4) так . В правой части стоит ф-я диф. по t, значит и в левой части стоит ф-я диф. по t,
39. Случай интегрируемости ур-ния Эйлера. Пример.
Теорема: Если кривая доставляет слабый locmin в простейшей ЗВИ, то на ней выполняется диф ур-ние Эйлера: (1) с краевыми условиями , (2) Док-во: Если краевая доставляет слабый locmin простейшей ЗВИ, то первая вариация функционала
, здесь ф-ции , Рассм интеграл:
, тогда по следствию к лемме, получим: (3) Ур-ние (3) наз интегральным ур-нием Эйлера, а любое его решение – экстремалью Перепишем ур-ние (3) в виде: В последнем рав-ве в правой части стоит ф-ция диф-мая по , значит и в левой части функция диф-мая по и следов-но справедливо рав-во: последнее ур-ние и есть ур-ние (1). Т. доказана.Замечание: В развернутом виде Ур-ние Эйлера представляется как , т.е. явл диф-ным ур-нием 2-го порядка. Значение постоянных в общем решении этого ур-ния определяется из краевых условий (2)Экстремаль наз особой в точке из отр-ка , если Замечание: Экстремаль всегда будет особой для всех , если ф-ция явл линейной по , т.е. ф-цию F можно представить в виде: Выпишем ур-ние Эйлера для такой ф-ции F: (4) Если (4) не явл тождеством, то оно определяет некот линию , которая будет проходить через заданные граничные точки лишь в исключительных случаях. Если же рав-во (4) явл тождеством, то положим , ,получим: , т.е. знач-е функционала не зависит от выбора кривых, соединяющих граничные точки.В каждом из рассмотренных случаев задача вырождается.ПРИМЕР , , , , , Подставляя краевые значения, получаем: Экстремаль:
40. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.
1. Рассмотрим задачу (1) где определена и непрерывна со всеми частными производными до 2-ого порядка включительно, , является заданным, а значения не закреплены (свободны). Пусть траектория является подозрительной на достижение экстремума функционала (1).
Рассм вариации Лагранжа , где .
Тогда , где .
И образуем 1-ую вариацию функционала:
(2)
Т.о. доказали теор 1.
Теорема1: Если доставляет функционалу (1) в случае, когда отрезок задан, не закреплены, то кривая удовлетворяет уравнению Эйлера (3) с краевыми условиями (2).
Замечание: Если левый или правый конец траектории закреплён, то первое или второе из условий (2) заменяется или .
2. Ищем (1) при условиях когда отрезок не фиксирован. Значение ф-ии на концах отрезка не заданы. Пусть явл решением рассм задачи. Тогда найдётся такие , что кривая удовлетворяет уравн Эйлера (3) и краевым условиям (2). Определим условие для значений . Рассм , , где - произвольные приращения интервала, . И предположим продолжимость решения на отрезок , если это необходимо. Рассм (4)
(*)-по теор о среднем интеграл равен значению подинт ф-ии в некотор т из интервала интегрирования, умнож на длину интервала + о от длины интервала инт.
В (4) рассм , разделим на и .
, тогда
(5)
(6)
(4) должно выполняться для . Значит (5) и (6) должны выполняться одновременно. Значит:
(7)
В (7) произвольны и независимы друг от друга, поэтому
(8)
Т.о. справедлива теор 2.
Теорема 2. Если доставляет слабый минимум функционалу (1) в задаче с незакреплёнными концами, то кривая удовл ДУ Эйлера (3) и условиям (7) и (8).