- •Криволинейный интеграл
- •Криволинейный интеграл первого рода
- •Криволинейный интеграл второго рода
- •1. Линейность:
- •3. Монотонность: если на , то
- •Поверхностные интегралы
- •Определение
- •Параметрическая форма
- •Свойства
- •Линейность:
- •Поверхностный интеграл второго рода Определение
- •Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода
- •Свойства
- •Линейность:
- •Площадь поверхности
- •Длина кривой
- •Евклидово пространство
- •Длина дуги как параметр
- •Евклидова плоскость
- •Риманово пространство
- •Общее метрическое пространство
- •Формула Грина
- •Формула Гаусса – Остроградского
- •Формула Стокса
Поверхностные интегралы
Поверхностный интеграл первого рода
Определение
Пусть — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на задана функция
.
Рассмотрим разбиение этой поверхности на части
кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку
.
Вычислив значение функции в этой точке и, приняв за — площадь поверхности рассмотрим сумму
.
Тогда число называется пределом сумм , если:
Предел сумм
при
называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается следующим образом:
Параметрическая форма
Пусть на поверхности можно ввести единую параметризацию посредством функций
заданных в ограниченной замкнутой области плоскости и принадлежащих классу в этой области. Если функция непрерывна на поверхности , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности существует и может быть вычислен по формуле:
, где:
Свойства
Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности.
Линейность:
;
Аддитивность:
;
Монотонность:
если , то
для если , то
Теорема о среднем для непрерывной функции и замкнутой ограниченной поверхности :
.
Поверхностный интеграл второго рода Определение
Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.
Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.
Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:
.
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от
,
распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом
(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость
Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:
или .
В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:
где суть функции от , определенные в точках поверхности .
Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода
,
где — единичный вектор нормали поверхности , — орт.
Свойства
Линейность:
;
Аддитивность:
;
При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.
Площадь поверхности
Проще всего определяется площадь многогранныхповерхностей: как сумма площадейих плоских граней.Чаще всего площадь поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем (или без края). Обычно это делают с помощью следующей конструкции. Поверхность разбивают на мелкие части с кусочно гладкими границами: в каждой части выбирают точку, в которой существует касательная плоскость, и ортогонально проектируют рассматриваемую часть на касательную плоскость поверхности в выбранной точке; площадь полученных плоских проекций суммируют; наконец, переходят к пределу при всё более мелких разбиениях (таких, что наибольший из диаметров частей разбиения стремится к нулю). На указанном классе поверхностей этот предел всегда существует, и если поверхность задана параметрически кусочно -гладкой функцией , где параметры , изменяются в области на плоскости , то площадь выражается двойным интегралом
где ,
,
,
a и — частные производные по и .
В частности, если поверхность есть график -гладкой функции над областью на плоскости , то
На основе этих формул выводятся известные формулы для площади сферы и её частей, обосновываются приёмы для вычисления площади поверхностей вращения и т. п.
Для двумерных кусочно гладких поверхностей в римановых многообразиях эта формула служит определением площади, при этом роль , , играют составляющие метрического тензора самой поверхности.