Исходя из законов коммутации,

Система уравнений при t=0+

Решая (4) и (5), получаем

.

Из (6)

А/с.

Дифференцируем уравнения (1) и (2) и при t=0+ имеем

Из (8)

Подставляем в (7) и решаем относительно А/c.

П

23

осле подстановки численных значений получаем мгновенное значение тока при переходном процессе

, А.

п остоянная времени цепи разряда с. Переходный процесс можно считать практически завершенным через t=3,5 с, т.к. к этому времени свободная составляющая напряжения снижается до 3% от своего первоначального значения.

Из выражения (2.9) видно, что ток в начальный момент времени при малом сопротивлении r может достичь большой величины. Это обстоятельство следует учитывать на практике при включении цепей с элементами, обладающими емкостью. Так, например, при включении нагрузочного устройства с помощью кабеля следует иметь в виду, что его распределенная емкость может быть значительной, а сопротивление небольшое, поэтому в начальный момент включения источника напряжения ток в цепи может достигать значительной величины, если нагрузочное устройство не обладает индуктивностью.

Теперь рассмотрим разряд конденсатора на резистор. Если конденсатор с емкостью С, заряженный до напряжения U₀, разряжается на резистор с сопротивлением r (рис. 2.3), то принужденная составляющая напряжения на конденсаторе и напряжение равно свободной составляющей, определяемой из уравнения

. (2.10)

Решение этого уравнения аналогично полученному ранее выражению для :

. (2.11)

Поскольку , постоянная интегрирования , поэтому

. (2.12)

Т

8

ок при разряде конденсатора

. (2.13)

4. Пример расчета

И сходные данные

ом

ом

мГн

мкф

В

Определить:

1. Ток , используя классический метод анализа переходных процессов.

2. Ток , используя операторный метод анализа переходных процессов.

3. Построить график зависимости в интервале от t=0 до t=3/ , где - меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Решение

1. Классический метод анализа переходных процессов.

До коммутации , .

Составим характеристическое уравнение, используя выражение входного сопротивления двухполюсника на переменном токе (точки a, b).

.

Заменим на

.

Числитель этой дроби является характеристическим уравнением

21

.

Для свободной составляющей тока справедливо уравнение

. (2.16)

Характеристическое уравнение

Решение уравнения для свободной составляющей тока имеет вид

, (2.17)

где - постоянная времени рассматриваемой цепи. Таким образом, ток в цепи во время переходного режима

. (2.18)

Постоянную интегрирования А находят из начального условия, определяемого первым законом коммутации:

, (2.19)

т.е.

.

С учетом этого ток переходного периода

. (2.20)

На рис. 2.6 изображены кривые изменения тока в рассматриваемой цепи при различных значениях r и L.

Напряжение на индуктивном элементе в переходный период

. (2.21)

Кривые изменения напряжений на резистивном и индуктивном элементах приведены на рис. 2.7.

10

3.3. Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов в узле равна нулю. При этом токи, втекающие в узел берут со знаком «-», а вытекающие со знаком «+»

. (3.13)

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме изображений ЭДС этого контура, включая внутренние ЭДС.

При этом слагаемые берутся со знаком «+», если их направления совпадают с выбранным напряжением обхода контура

. (3.14)